1、- 1 -用特征方程与特征根解数列 线性递推关系式 的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为 An+2aAn+1bAn特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根 X1 X2(1)若 X1X2 则 An=pX1n+qX2n (2)若 X1=X2=X 则 An=(pn+q)Xn (其中 p.q 为待定系数，由 A1.A2联立方程求得)(3)若为虚数根，则为周期数列类型二 递推公式为 An+1 dcban特征方程为 X= 解得两根 X1 X2(1)若 X1X2 则计算 = =k21xAn21xdcbann21An接着做代换 Bn= 即成等比数列21（2）若 X1=X2=X 则计算 = =
2、k+xAn1xdcbanAn1接着做代换 Bn= 即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为 An+1 dcban2特征方程为 X= 解得两根 X1 X2 。然后参照类型二的方法进行整理x2类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+ckAn特征方程为 Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+ck(1)若 X1X2Xk 则 An= + +1n2kn(2) 若所有特征根 X1,X2,Xs.其中 Xi是特征方程的 ti次重根,有 t1+t2+ts=k 则 An= + + ， Qn)(n)(2Qsns)(其中 = + + （B1,B2，Bti 为待
3、定系数）iB1ti1二.特征方程的推导及应用 类型一、递推公式为 （其中 p，q 均为非零常数） 。nnapa2- 2 -先把原递推公式转化为 ，其中 满足)(1212 nnnn axax 21,x，显然 是方程 的两个非零根。 qxp2121,x0qp1） 如果 ，则 ， 成等比，很容易求通项公式。012a12nnaxn2） 如果 ，则 成等比。公比为 ，12x12nn 2x所以 ，转化成： ，121)(nnxaa )(1212 aaxnn( I )又如果 ，则 等差，公差为 ，x2112nx)(12x所以 ，)(1212 anaxn即： 2121 ( nn x22)nn axa可以整理成通
4、式： nnxBA)(Ii)如果 ，则令 ， ， ,就有21x12nbaA2Bax)(12，利用待定系数法可以求出 的通项公式BAbnn1 n211212 )()(xaxann 所以 ，化简整理得：22121 )()( nnn x，21121)(nnn xaxa可以整理成通式 BAnn2小结特征根法：对于由递推公式 ， 给出的数列nnqapa121,- 3 -，方程 ，为特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，na02qpx21,x21x数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即把121nnxAa 2,a和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当21,x, 121nn时，数列 的通项为
5、 ，其中 A，B 由 决定（即n )(x21,把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） 。21,xa, 12nnAa简例应用（特征根法）：例 1：数列 ： ， n ),0(5312 Nn ba21,解：特征方程是： ,x321x。又由 ，于是121nnBAxa)3(na故)(3bab 1)3(nnb例 2：设 p、q 为实数，、 是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，数列x n满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)求数列x n的通项公式。解： 显然 xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是 x2-px+q=0，而 、 是方程
6、 x2-px+q=0 的两个实数根，所以可以直接假设：1 当 = 时，设 ，因为 x1=p,x2=p2-q，所以1)(nnBA解得qpBA2)(pqP2nx 222)(np2 当 时，设 ，因为 x1=p,x2=p2-q，所以11nBAx解得 ，qpBA2q2 qp+nx1n12np类型二、递推公式为 hraqnn1- 4 -解法：如果数列 满足：已知 ，且对于 ，都有 （其中na1aNnhraqpnn1p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，那么，可作特征方程 ,当rhrqph1,0rx特征方程有且仅有一根 时,如果 则 ；如果 则 是等差数0x01xa0n01xa0n列。当特征方程有两个
7、相异的根 、 时，则 是等比数列。 （证明方法如同类1212n型一，从略）例 1：已知数列 na满足：对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na解: 数列 n的特征方程为 变形得,34x,0x其根为 故特征方程有两个相异的根，则有.2,1.N,)21(3)( 11221 nrpacnn .N,)51(2ncn 即.,)5(112cnn .,)(4ann例 2：已知数列 满足：对于 都有na,N.3251nna- 5 -（1）若 求,51a;n（2）若 求3（3）若 求,61;n（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？ana解：作特征方程 变形得.325x,02512x特征方程有两
8、个相同的特征根 .(1) 对于 都有.,511a,Nn;na(2) .,311rpbn)1(1 513)(531n令 ，得 .故数列 从第 5 项开始都不存在，,82n0n5na当 4， 时， .N7ban(3) ,561a.1 .,81)1(1 Nnrpnn 令 则 对于,0nb.7.0bN,n .,7435811nan(4)、显然当 时，数列从第 2 项开始便不存在.由第（1）小题的解答知， 时，31 51a是存在的，当 时，有na5a令 则得.N,8)1(11 nrpbn ,0nb且 2.N,35an当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便不存在。11 na于是知：当 在集合 或
9、且 2上取值时，无穷数列 都不存在。3,:15Nn na- 6 -例 3: 数列 记).1(0521681 naaannn且满 足 ).1(2nabn求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和nbnb.nS解：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或nna81652 x816522145x,nna)2(1 na)4(1, 4521nnaannn 24)1(4521451na)1(3b ,2nnnbab得由nnaaS21故 12()nb 1()531(2)3n例 4：各项均为正数的数列 中na都 有的 正 整 数且 对 满 足 qpnmqpmba ,1 ， 当)(nm)1(qpa时 ， 求 通 项54,21bna解：由 得1mnaqp)(1an )1(2n化间得 ，作特征方程 ， ， 。21n 2x12x所以 31nnanna1n
