1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网数列中由递推关系求数列的通项题型归类新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算- 猜想-证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。1 类型一： （其中 d 是常数）an1显然，由 知 是等差数列，则dn dnan)1(2 类型二： （其中 q 是不为 0 的常数）n1显然，则 知 是等比数列，于是qann 1nqa3 类型三： ，方法：叠加法)(1fn例 1、在数列 中， ，且 ，求 .1an
2、na21解：由 得， nna22231nna由上面等式叠加得， 22.2111 nnnna故 。12na4 类型四： ，方法：叠乘法nnaf)(例 2、在数列 中， ，且 ，求 .21 nna)2(1解：由已知得， ，则有 ， ， ，na31a4235， ，这（ ）个等式叠乘得， ，则21na1n 21)(na。)(高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网5 类型五： （其中 p，q 是常数，且 ）方法：参数法pann1 0p例 3、已知数列 满足 ，且 ，求 .)2(31n41an解：引入参数 c，令 ，即 ，与已知)(cnnc3 231a比较知 c=1，于是有 ，即数列 1是以
3、 为首项，3 为公比的等比31nana1数列，则 ，故n n6 类型六： )(1fpn（1）若 （其中 k,b 是常数，且 ）方法：升降足标法)(fbk0k例 4、在数列 中， ，且满足 ，求 .na1nan231解： ， ，两式相减得，n231)(n，令 ，则 ，利用类型五的方法知，)(11nna nab11nb，即 ，再利用类型三的方法知，5b35na；亦可联立、解出 。231nn 2351nn（2）若 （其中 r 是常数，且 ） 方法：两边同乘)(fn ,0r1nr例 5、在数列 中， ，且满足 ，求 .na1nna61解：将已知 的两边同乘 ，得 ，nn361 13n321nn令 ，则
4、 ，利用类型五的方法知 ，则nab321nbnb。16n7 类型七： （其中 p，q 是不为 0 的常数） 方法：倒数法qnna1例 6、数列 中，若 ， ，求 .n12nan高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网解： ， ，即数列 是以 为首项，21na211nnana11为公差的等差数列，则 ，即 。21)(n变式：若类型七变为 的结构时，仍可使用倒数法。qparnn1例 7、在数列 中，若 ， ，求 .n1231nnan解： ， ，令 ，则231nna3321nnn nab1，利用类型五知， ，则 。321nnb1)(nb1)2(nna8 类型八： （其中 p，r 为常数，
5、且 ）rnna1 0,np方法：对数法例 8、在数列 中，若 ， ，求 .n3121nan解：由 ， 知 ，对 两边取以 3 为底的对数得，31a21a0n，则数列 是以 为首项， 2 为公比的等比数列，nn3log2l1 3logl13a则 ， ，即 。1an 12n9 类型九： （其中 p，q 为常数，且 ）11nnqap 1qp方法：转化法例 9、数列 中，若 ， ，且满足 ，求 .na81203412nnaan解：把 变形为 ，则数列03412n )(31na 是以 为首项，3 为公比的等比数列，则na1 6 116nn利用类型三的方法可得， 。nna变式：若结构变为 （其中 p，q
6、为常数，且满足 ）nap12 042qp方法：待定系数法高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网例 10、已知数列 满足 ，且 ， ，求 .na06512nna152an解：令 ，即 ，与已知)(112n 0)(2nn比较，则有 ，故 或06512nnaa632下面我们取其中一组 来运算（另一组同学们自己练习） ，即有3,2，则数列 是以 为首项，3 为公比的)(3211nnnaa na2112a等比数列，故 ，即 ，利用类型六（2）的方法，可n1n3得 。nn十 类型十：递推关系由 与 的关系给出 naS方法：运用 互化解决)2(1Sann例 11、已知数列 的前 n 项的和为
7、，且满足 ，nS)2(021nSan又 ，求 .21an解： 时，有 ，由 ，得1nnSa1nn 11nnS即 ，亦即 ，故数列 是以 为首项，2 为公差的等1nS21nnS1a差数列， ，则n)(2n故当 时， )1(2)1(21 nSann显然上式对 时不成立，则)2(12)(nan高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网十一 其它类型例 12、数列 中， ， ，求 .na141nnan解：由 知， ，即有 ，410)2(a 211na故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，从而n1，则2)(an 2)1(n评注：方法是配方法。例 13、设数列 是首项为 1 的正项数列，且满
8、足na，求 .0)1(12nana解：原递推式可以分解为 0)(11 na由于 ，则有 ，故知 ，利用类型四的方法可解出0n1nn1。a1评注：方法是因式分解法。例 14、已知数列 中， ，数列 中， ，且当 时，na1nb12n， ，求 ， .)2(311nnba)2(3na解：由于 ，)(1n )(1n两式相加得 n再由两式相减得 ，这表明数列 是以 为首项，)(31nbab nba1ba为公比的等比数列，则 31n联立、，解之得： ，)(21n)31(2n评注：方法是加减法。例 15、已知数列 中， ， ， ， （其中na1 kka)(12 ka321） ，求 .,321k解：由 知， ，再由 知，kk32112123kk kk)(12，于是 ，则32)(ka )(a 13aa高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网)()( 32135 kkaa 11221 )(3)(3)( nk110() 1k2()(kk 2)kk于是 kka)1(21)(3k综上可知：当 时， n2)(nna当 时，k21)(32nn评注：方法是奇偶分类法。总之，由递推关系求数列的通项，核心是把所给递推式变形构造成等差或等比数列来解决。同学们应该熟练掌握上面归纳整理的这些常见的递推关系，以利于正确、快速地解决相关问题。
