1、第三章 控制系统的数学模型,第一节 控制系统的微分方程 第二节 控制系统的传递函数 第三节 系统函数方框图及其简化,对于一个控制系统，在给定输入下的运动规律以及它的稳定情况和动态过程都是我们所希望了解的。 为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先应建立系统的数学模型。 将系统在信号传递过程中的这些特性用数学表达式描述出来，就得到了系统的数学模型。 建立数学模型后，可以对系统进行分析、综合。这是控制工程的基本方法。,第三章 控制系统的数学模型,系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。或者说，是描述系统因输入作用导致输出量（被控变量）变化的数学表达式,第三章 控制
2、系统的数学模型,系统的数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选择：在时间域：用微分方程表示在复数域：用传递函数表示在频率域：用频率特性形式表示,建立合理的数学模型，对于分析和研究系统极为重要。由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完全发达出来，因而要对模型的简洁性与精确性进行折衷考虑。,建立控制系统的数学模型主要两种方法：。 解析法-依据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型,第三章 控制系统的数学模型,实验法- 把需建模的对象看成为一个“黑箱”，根据过程输入、输出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计得出数学模型。过程辨识是根据测试数据确定
3、模型结构（包括形式、方程阶次及时滞情况等）。在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参数称为参数估计。,工程中的控制系统，不管它是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的、化学的，其运动规律都可以用微分方程加以描述。因此，用解析法建立系统或元件的数学模型就是从列写它们的微分方程开始的。,第一节 控制系统的微分方程,一、控制系统微分方程的列写 1.电气系统通常利用基尔霍夫定律来建立 电气系统的数学模型。 例1：RLC无源电网络,消去中间变量，即得,第一节 控制系统的微分方程,上式为二阶常系数线性微分方程，若L0，系统也可简化为一阶常系数线性微分方程,第一节 控制系统的微分方程,例2：有源
4、电网络,K0为运算放大器的开环放大系数,一般K0很大，所以A点电位,运算放大器的输人阻抗一般都很高，故而可认为,则:,第一节 控制系统的微分方程,2 .机械系统任何机械系统的数学模型都可以用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物象都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。,第一节 控制系统的微分方程,例：机械平移系统图所示为常见的质量-弹簧- 阻尼系统图中的m、K、B分别表质量、弹簧刚度和粘性阻尼系数。,第一节 控制系统的微分方程,以系统在静止平衡时的那一点为平衡工作点。,f1 (t):外作用力,设为输入 x0(t)：质量块的位移，设为输出 fB(t)：阻尼器产生的粘性阻尼力 fK(t)
5、:弹簧产生的弹性力,根据牛顿第二定律，有,由弹簧和阻尼器的特性，可得：,消去fB(t)和fK(t) ，并写成标准形式：,方程的系数取决于系统的结构参数，而方程的阶次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数量。 说明:同一系统由于简化程度的不同，可以有不同的数学模型,第一节 控制系统的微分方程,当质量m很小可忽略不计时，系 统由并联的弹簧和阻尼器组成，如图 所示。,此时系统的运动方程为一阶常系数微分方程:,第一节 控制系统的微分方程,从上述例子可以看出，不同类型的元件或系统 可以用形式相同的数学模型表示。,这类系统称为相似系统，揭示不同物理现象之间的相似关系。便于用一个简单的系统去研究与其相
6、似的复杂系统，为计算机仿真提供了基础。,第一节 控制系统的微分方程,线性元件或系统:用线性微分方程描述的元件或系统 线性元件或系统的特性:叠加性、均匀性 叠加性:,假设:f(t)=f1(t)时，方程的解为 c (t)=c1(t);f(t)=f2(t)时，方程的解为 c (t)=c2(t); 则: f(t)= f1(t) +f2(t)时，方程的解为 c (t)=c1(t)+c2(t),均匀性： f(t)=Af1(t)时，方程的解为 c (t)=Ac1(t),第一节 控制系统的微分方程,说明：当两个外力同时作用于系统所产生的总输出，等于各外力单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时
7、，其输出也增大若干倍。 因此对线性系统进行分析和设计时，如果有若干个外力同时作用于系统，则可以将他们分别处理，然后将它们叠加。另外：每个作用力在数值上可以取单位值，从而简化了线性系统的研究工作。,第一节 控制系统的微分方程,3.流体系统流体系统比较复杂，但经过适当的简化也可用微分方程描述,qi(t)为输入量，H(t)为输出量 A-箱体截面积 a节流阀流通面积不变时，a为常数,根据流体连续方程：,设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流，则其流量为:,非线性系统,第一节 控制系统的微分方程,二、建立数学模型的一般步骤 用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：(1)分析系统的工作原理和信号传递变
8、换的过程，确定 系统和各元件的输入、输出量。(2)从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量所遵循的物理学定律列出各元件、部件的动态微分 方程。(3)消除中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输 出变量之间关系的微分方程。(4)写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右边， 与输出有关的项放在等式的左侧。,第一节 控制系统的微分方程,三、线性微分方程的求解一般形式:,第一节 控制系统的微分方程,数学上：线性微分方程的解 = 特解+齐次微分方程的通解也即可以求出系统的输出响应。,用拉普拉氏变换求解线性微分方程：考虑初始条件，利用拉普拉氏变换将微分方程转换为s的代数方程。由代数方程求出
9、输出量的拉普拉氏变换函数的表达式。 对输出量的拉普拉氏变换函数求反变换，得出输出量的时域表达式。,第一节 控制系统的微分方程,控制工程中，直接求解系统微分方程是研究分析系统的 基本方法。系统方程的解就是系统的输出响应，通过方程解的表达式，可以分析系统的动态特性，绘出输出响应曲线，直观地反映系统的动态过程。,第一节 控制系统的微分方程,但是，对于高阶系统，由于求解过程较为繁琐，手工计算复杂而且难以直接从微分方程本身研究和判断系统的动态性能，因此，这种方法有很大的局限性。显然，仅用微分方程进行系统分析设计，显得十分不便。,一、传递函数的概念和定义传递函数：对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出
10、量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,第二节 传递函数,式中：C(s)=Lc(t)输出量的拉氏变换式R(s)=Lr(t)输入量的拉氏变换式。那么：C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换：,设：输入-r(t)，输出-c(t)，则传递函数：,设所有初始条件均为零，对上式进行拉氏变换：,质量-弹簧-阻尼系统的方程：,第二节 传递函数,LRC无源电路网络可得:,传递函数是复数域中的系统数学模型，它仅取决于系统本身的结构及参数，而与输入的形式无关。拉氏变换是一种线性变换，只是将变量从时间域变换到复数域，将微分方程变换为S域中的代数方程来处理，所以不会改
11、变所描述的系统的动态本质。,第二节 传递函数,传递函数是通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统固有特性的，即以系统的外部特性来揭示系统的内部特性。,第二节 传递函数,传递函数的概念和基本思想在控制理论中具有特别重要的意义：当一个系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清楚它的内部结构时，借助从系统的输入来看系统的输出，也可以研究系统的功能和固有特性。,现在，对系统输入输出动态观测的方法，已发展成为控制理论研究方法的一个重要的分支，这就是系统辨识，即通过外部观测所获得的数据，辨识系统的结构及参数，从而建立系统的数学模型。,设线性定常系统的微分方程的一般形式为：,第二节 传递函数,二、传递函数的性
12、质（1）传递函数与微分方程之间一一对应，微分方程惟一，传递函数就惟一。 （2）拉氏变换是线性变换，所以，传递函数只适应线性定常系统。 （3）传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映非零初始条件下的系统的运动情况。 （4）传递函数只与系统的结构和参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。,第二节 传递函数,（5）传递函数中总是nm,因为实际系统或元件总有惯性存在以及受到能量的限制所造成的。 （6）一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适合于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。 （7）当两个元件串联时，若两者之间存在负载效应，必须将它们
13、归并在一起求传递函数；如果能够做到它们彼此之间没有负载效应(如在电器元件之间加入隔离放大器)，则可以分别求传递函数，然后相乘。,第二节 传递函数,三、典型环节及其传递函数 控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，这些元件的物理结构和工作原理可以是多种多样的，但从控制理论来看，物理本质和工作原理不同的元件，可以有完全相同的数学模型，亦即具有相同的动态性能。,第二节 传递函数,在控制工程中，常常将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节则称为典型环节。这样，任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节组成，从而给建立数学模型、研究系统特性带来方便，使问题简化。,
14、1.比例环节,K环节的比例系数，通常都是有量纲的,比例环节的传递函数：,第二节 传递函数,特 点： 输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。,弹簧、电子放大器、杠杆机构等属此类型,第二节 传递函数,例 2：输入：n1(t)转速 Z1主动轮的齿数 输出：n2(t)转速 Z2从动轮的齿数,运动方程：传递函数：,其它一些比例环节,2.一阶惯性环节 惯性环节：运动方程为一阶微分方程形式的环节,T-时间常数，表征了环节的惯性，它和环节结构参数有关。特点：由于惯性环节中含有一个储能元件，所以当输入量突然变化时，输出量不能跟着突变，而是按指数规律逐渐变化，存在时间上的延迟。惯性环节的名称就由此而来。,
15、传递函数为：,第二节 传递函数,图为弹簧(刚度为K)和阻尼器(阻尼系数为B)组成的一个环节，其方程为,第二节 传递函数,3. 理想微分环节 特点：输出量正比于输入量的微分的环节。其运动方程式为,第二节 传递函数,工程中，测量转速的测速发电机实质上是一台直流发电机，如图所示。当以发电机转角i为输人量，电枢电压u。为输出量时，则有,式中：Ki发电机常数。,微分环节的输出是输入的微分，当输入为单位阶跃函数时，输出就是脉冲函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节难以实现，它总是与其它环节同时出现。,第二节 传递函数,其它微分环节举例,4.一阶微分环节,第二节 传递函数,特 点：此环节的输出量不
16、仅与输入量本身有关， 而且与输入量的变化率有关,RC电路,输入：u(t)，输出：i(t) ，则传递函数： （RC= ）一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。,5.二阶微分环节 二阶微分环节的微分方程式为：,式中：K-比例系数T-二阶微分环节的时间常数-阻尼比,只有当式中 具有一对共扼复根时，才能称为二阶微分环节。如果上式具有两个实根，则可以认为这个环节是由两个一阶微分环节串联而成。,第二节 传递函数,特 点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关,6.积分环节,T积分环节的时间常数,第二节 传递函数,特 点：输出量的变化速度和输入量成正比,如图
17、积分调节器,第二节 传递函数,其它积分环节举例,6.二阶振荡环节,第二节 传递函数,特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。,式中：阻尼比， T振荡环节的时间常数。,第二节 传递函数,7. 延迟环节（时滞环节） 延迟环节的输入量与输出量之间有如下关系：,为纯延迟时间,延迟环节是线性环节，故其传递函数为,第二节 传递函数,特 点：输出能准确复现输入，但时间上存在延迟,例如：在化工系统中，管道传输、温度传输等都是,时间延迟环节。,延迟环节与惯性环节的区别在于：惯性环节：从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯 性，输出要滞后一段时间才接近于所
18、要求的输出值；延迟环节：从输入开始之初，在0到的区间内，并无输出，但在t 之后，输出就完全等于输入。,求下列系统的传递函数,第二节 传递函数,例,第二节 传递函数,小结： （1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数。例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。 （2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量 时，就可能得到不同形式的传递函数。 例如：电容：输入电流，输出电压，则是积分环节。反之，输入电压，输出电流，则为微分环节。,第三节 系统方框图及其简化,控制系统一般由许多元件组成，为表明元 件在系统中的功能，形象直观地描述系统信号
19、的传递、变换的过程，以及便于系统分析和研 究，经常用到系统方框图。,第三节 系统方框图及其简化,一、方框图的结构要素 构成方框图的三要素:函数方框、求和点、引出线,1.函数方框：方框两侧为输入输出量，方框内为输入输出之间的传递函数,2.引出点:同一信号需要输送到不同地方，可用信号线表示，它表示信号引出或测量的位置和传递方向,3.求和点（比较点）：信号之间代数加减运算的图解,二、方框图的简化为了分析系统的动态性能，需要对系统的方框 图进行运算和变换，求出总的传递函数。 1.串联运算法则,第三节 系统方框图及其简化,结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环 节传递函数的乘积。,2.并联运算法则,
20、第三节 系统方框图及其简化,结论： 多个环节并联后的传递函数等于所有并联环节传递函数之和。,3反馈运算法则,同理对于正反馈：,第三节 系统方框图及其简化,结论：具有负反馈结构环节传递函数等于前向通道的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈通道传递函数的乘积。,绘制系统方块图的步骤如下：(1)列出描述系统各个环节的微分方程式； (2)假定初始条件为零，对方程式进行拉斯变换； (3)分别画出各环节的方块图； (4)将各环节方块图结合为一体，组成系统的方块图,第三节 系统方框图及其简化,对于比较熟悉的物理对象，绘制方块图时可省去步骤(1)和(2)，甚至步骤(3)。此外对于电路网络系统，可利用
21、复阻抗的概念，直接列写复频域内的代数方程，使绘制系统方块图和求取系统传递函数变得简便。,第三节 系统方框图及其简化,例 ：绘制如图所示系统的方块图 设中间点A，如图所示。,第三节 系统方框图及其简化,例：电网络,方块图,第三节 系统方框图及其简化,将各环节方块图结合成一体，得系统方块图如图所示。,第三节 系统方框图及其简化,环节方块图的串联与具体电路环节的串联有时是不对应的。例图a所示的无源滤波网络电路是图b所示电路环节串联而成的，但图b电路环节的方块图串联起来与无源滤波网络电路的方块图(如上页图所示)并不相同。这是由于环节负载效应的缘故，如果负载效应可以忽略，例如在电路环节之间加上放大倍数为
22、1的隔离放大器则具体电路环节的串联与相应方块图的串联就可以对应起来。对于由运算放大器组成的有源电路由于输入阻抗高，通常可认为与前面的电路之间存在隔离放大器。,第三节 系统方框图及其简化,第三节 系统方框图及其简化,本章要求学生熟练掌握拉氏变换方法，明确拉氏变换是分析研究线性动态系统的有力工具，通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程掌握拉氏变换的定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表，掌握拉氏变换的重要件质及其应用，掌握用部分分式法求拉氏反变换的方法以及了解用拉氏变换求解线性微分方程的方法。明确为了分析、研究机电控制系统的动态特性，进而对它们进行控制，首先是会建立 系统的数学模型，明确数学模型的含义，对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求其传递函数，会画其函数方块图,
