1、控制系统的数学模型,在进行控制系统分析之前，首要工作是建立控制系统的数学模型。,在MATLAB命令行方式仿真中，可以用3种方法建立控制系统的参数模型： 多项式模型 零极点模型 状态空间模型,5.2.1 控制系统的参数模型1. 多项式模型（Transfer Function，简称TF） 线性定常系统的传递函数G(s)一般可以表示为 （5.13）,其中 （5.14） （5.15） 分别为分子多项式与分母多项式。 ； ，均为常系数。,由于用 和 可以唯一地确定一个系统，因此在MATLAB种可以用向量 和 来表示传递函数G(s)的多项式模型。,用于在MATLAB中描述线性定常系统的多项式模型（TF）。
2、,【例5.1】 系统的传递函数为在MATLAB命令平台上键入num=0 1 12 44 48;den=1 16 86 176 105;printsys(num,den);,num/den = s3 + 12 s2 + 44 s + 48 - s4 + 16 s3 + 86 s2 + 176 s + 105,例题说明： 函数printsys（）用于显示传递函数G(s)的多项式模型。显示变量num/den为通用的输出显示格式，与输出变量名称无关。,【例5.2】 系统的开环传递函数为 写出其多项式模型。num=conv(20,1 1);den=conv(1 0 0,conv(1 2,1 6 10);
3、printsys(num,den);,num/den = 20 s + 20 - s5 + 8 s4 + 22 s3 + 20 s2,例题说明： 函数conv（）用于计算多项式乘积，结果为多项式系统的降幂排列。语句2为函数conv（）的嵌套使用。,【例5.3】 系统的开环传递函数为写出单位负反馈时，闭环传递函数的多项式模型。numo=conv(5,1 1);deno=conv(1 0 0,1 3);printsys(numo,deno);,num/den = 5 s + 5 - s3 + 3 s2,numc,denc=cloop(numo,deno,-1);printsys(numc,denc
4、);num/den = 5 s + 5 - s3 + 3 s2 + 5 s + 5,例题说明： 函数=cloop()用于计算单位反馈时闭环传递函数多项式模型的参数向量，右变量为开环参数，左变量返回系统的闭环参数，反馈极性1为正反馈，-1为负反馈，省缺时作负反馈计算。,【例5.4】 系统的结构图如图5.3所示。 写出闭环传递函数的多项式模型。,num1=10;den1=1 1 0;num2=0.2 1;den2=0.01 1;num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,-1)printsys(num,den),num/den = 0.1 s + 10 - 0.01
5、s3 + 1.01 s2 + 3 s + 10,例题说明： 函数=feedback()用于计算一般反馈系统的闭环传递函数。前向传递函数为 ，反馈传递函数为 。右变量为G(s)和H(s)的参数，左变量返回系数的闭环参数，反馈极性1为正反馈，-1为负反馈，省缺时作负反馈计算。,2.零极点模型（Zero-Pole，简称ZP） 线性定常系统的传递函数G(s)一般可以表示为零点、极点形式，即 （5.6）,式中 ； ；k分别为系统的m个零点、n个极点及增益k，且均为常数。,由于用m个零点、n个极点及增益k可以唯一地确定一个系统。因此，在MATLAB中可以用向量 、 、k=k0来表示系统G(s)的零极点模型
6、。,用于在MATLAB中描述线性定常系统的零极点模型。,【例5.5】 系统的传递函数为写出其零极点模型。,z=-4; p=-1 -2 -3; k=5;表示该系统的零极点模型。,如果进一步想得到多项式模型，另外还可以使用下述几种方法实现。,如果A为nn方阵，poly(A)执行结果得到矩阵A的特征多项式 （5.17）则 为矩阵A的特征多项式系数向量。,如果A为向量，poly(A)执行结果得到以向量a的元素为根的多项式。因此，该函数可以用于零极点模型至多项式模型的转换。,如上例，num=k*poly(z);den=poly(p);printsys(num,den);,num/den = 5 s +
7、20 - s3 + 6 s2 + 11 s + 6例题说明： 函数poly()用于将多项式零点转换为多项式。,向量a与向量b作卷积。如果a与b分别为多项式的系数向量，卷积结果等价与两个多项式的乘积。因此向量c的长度为length(c)=length(a)+length(b)-1,可见，该函数也可以用于零极点模型至多项式模型的转换。【例5.6】 系统的零极点模型为求多项式模型。,num=2*conv(1,2,conv(1,3,1,3)den=conv(1,1,1,2,16)num = 2 16 42 36den = 1 3 18 16,即系统的多项式模型为,3.状态空间模型（State Spac
8、e,简称SS）线性连续时间系统的状态方程为 （5.18）,其中系统矩阵为，控制矩阵为，输出矩阵为，直耦矩阵为，且A、B、C、D均为常数矩阵，因此可以由常数矩阵a、b、c、d表示线性定常系统的状态空间模型。,用于在MATLAB中描述线性定常系统的状态空间模型。,【5.7】 线性系统的状态空间方程为,输入常数矩阵a=0 1;-2 -3b=0 1;2 0c=0 3;1 3d=1 0;0 2用来表示系统的状态空间模型。,显示为a = 0 1 -2 -3b = 0 1 2 0,c = 0 3 1 3d = 1 0 0 2,用于已知多项式的系数向量num，构造变量为S的多项式函数。,【例5.8】 键入nu
9、m=3,2,1,4,2;poly2str(num, s)显示结果为ans = 3 s4 + 2 s3 + s2 + 4 s + 2,用于构造传递函数G(s)并作显示。,【5.9】 键入num=3,2,1,4,2;den=3,5,1,2,2,1;printsys(num,den);,显示结果为num/den = 3 s4 + 2 s3 + s2 + 4 s + 2 - 3 s5 + 5 s4 + s3 + 2 s2 + 2 s + 1,4.模型的转换 上述控制系统的3种数学模型，可以由模型转换函数相互转换，以满足不同的使用需要。模型转换函数基本格式如下。,用于多项式模型与零极点模型之间的转换。函
10、数1返回零点向量z、极点向量p和增益向量k。函数2返回分子多项式向量num和分母多项式向量den。,【例5.10】 已知系统的多项式模型，求零极点模型。 num=0 1 12 44 48; den=1 16 86 176 105; z,p,k=tf2zp(num,den),z = -6.0000 -4.0000 -2.0000,p = -7.0000 -5.0000 -3.0000 -1.0000k = 1,即原系统的零极点模型为,控制系统的多项式模型TF与状态空间模型SS之间的转换。,格式1：将多项式模型TF转换为状态空间模型SS。,格式2：将状态空间模型SS转换为多项式模型TF。由于式（5
11、.18）定义的状态空间方程是m个输入、r个输出的，其对应的多项式模型是传递函数矩阵，即,其维数是rm,因此变量iu指明输入的号数。相应地，返回变量den是标量函数，num的维数是r1。,控制系统的状态空间模型SS与零极点模型ZP之间的转换。,格式1：将零极点模型ZP转换为状态空间模型SS。格式2：将状态空间模型SS转换为零极点模型ZP。变量iu指明输入号。,【5.11】 已知系统的状态空间表达式为试求系统的传递函数矩阵G(s)。,a=0 1;-2 -3;b=1 0;0 1;c=0 1;1 0;d=0 0 ;0 0;n1,d1=ss2tf(a,b,c,d,1);n2,d2=ss2tf(a,b,c
12、,d,2);printsys(n1,d1);,num(1)/den = -2 - s2 + 3 s + 2 num(2)/den = 1 s + 3 - s2 + 3 s + 2,printsys(n2,d2);num(1)/den = s + 4.4409e-016 - s2 + 3 s + 2 num(2)/den = 8.8818e-016 s + 1 - s2 + 3 s + 2,注意，4.4409e-016为MATLAB浮点计算残值，实际为零。系统的传递矩阵为,5.含有时间延迟环节的系统数学模型 由于时间延迟环节为s的超越函数，为此，MATLAB准备了n阶多项式近似函数pade()来
13、近似。,指数函数的pade展开式为 （5.20） 形式的无穷幂级数，所以取前n项，可以得到时间延迟环节的n阶多项式模型的近似表达式。,命令格式为,格式1：输入参数T为的延迟时间，n为给定的近似阶数。返回多项式模型参数num,den。,格式2：输入参数T为的延迟时间，n为给定的近似阶数。返回多项式模型参数a,b,c,d。,【例5.12】 带有时延环节的系统如图5.4所示。使用二阶pade()函数，建立系统的线性模型。,前向线性部分模型为n1=10;d1=1 1 0;前向时延环节的二阶pade近似为n2,d2=pade(0.1,2),n2 = 1 -60 1200d2 = 1 60 1200,开环
14、多项式模型为 no=conv(n1,n2); do=conv(d1,d2);,闭环系统多项式模型为 nc,dc=cloop(no,do); printsys(nc,dc);,num/den = 10 s2 - 600 s + 12000 - s4 + 61 s3 + 1270 s2 + 600 s + 12000,6.系统数学模型的自动生成 控制工具箱中准备的几个创建系统模型的函数如下所述。函数ord2()用于创建一个二阶系统模型。,格式1：给定系统的无阻尼振荡频率和阻尼比，创建一个形式为 （5.21）的二阶系统得到多项式模型。,格式2：给定系统的无阻尼振荡频率和阻尼比，创建一个形式为 （5.
15、22）的二阶系统状态空间模型。(MATLAB中不使用希腊字母，在程序中无阻尼振荡频率 由wn代替，阻尼比 由z代替。),函数rmodel()用于创建一个m个输入、p个输出的n阶系统模型。省缺右变量n时，阶数n是随机的。省缺m时为单输入，省缺p时为单输出。,格式1：随机创建一个n阶系统的多项式模型。格式1：随机创建一个n阶系统的状态空间模型。,7.离散系统数学模型 关于离散系统数学模型，由于函数使用格式与说明和连续系统相类似。,【例5.13】 创建一个阻尼比 、 的二阶系统传递函数模型和状态空间模型。 z=0.2;wn=5; num,den=ord2(wn,z); printsys(num,de
16、n),num/den = 1 - s2 + 2 s + 25,a,b,c,d=ord2(wn,z)a = 0 1 -25 -2,b = 0 1c = 1 0d = 0,【例5.14】 随机创建一个三阶系统的状态空间模型，双输入双输出。a,b,c,d=rmodel(3,2,2) a = -1.9910 0.0819 0.0011 0.0819 -0.7862 -0.4045 0.0011 -0.4045 -2.1475,b = -1.0565 0.5287 1.4151 0.2193 0 -0.9219,c = 0 -1.0106 0 -0.0592 0.6145 1.6924d = 0 0.3803 -0.6436 -1.0091,
