1、第 2 章 控制系统数学模型的建立控制系统数学模型的有效性直接关系到对系统性能的分析结果，所以建立合理的、有效的数学模型是控制系统分析中首先要解决的问题。本章将对控制系统数学模型的建立、传递函数的概念、结构图和信号流图的建立及化简等内容加以论述。2.1 概述数学模型: 描述系统各变量之间关系的数学表达式。 动态模型：描述系统动态过程的方程式称为动态模型。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。建立系统数学模型的途径：理论推导法（演绎法） 通过系统本身机理(物理、化学规律) 分析确定模型结构和参数，推导出系统的数学模型。实验测试法（归纳法） 根据对系统的观察，由测量得到的大量输入、输出数据，推断出被
2、研究系统的数学模型。建立系统数学模型时，应注意：（1）根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素，使系统数学模型简化，便于数学上的处理。 （2） 根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模型(微 分方程、传递函数等) ，有时还要考虑便于计算机求解。2.2 控制系统微分方程的建立建立系统(或部件)微分方程式的一般步骤：(1)确定输入变量和输出变量;(2)根据物理或化学定律，列出系统(或元件) 的原始方程式；(3)找出中间变量与其它因素的关系式；(4)消去中间变量，得到输入输出关系方程式； (5)若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化；(6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出
3、项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。上式中有，则有 i= ; di=Cd2u/d(t) ; di/dt=Cd2u/d2(t) ; 增量化数学模型中小可以不写。2.3 传递函数：2.3.1传递函数定义:线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。若线性定常系统由下述 n 阶微分方程描述，令 C(s)=Lc(t)，R (s)=Lr(t)，在初始条件为零时，进行拉氏变换，可得到 s 的代数方程2.3.2传递函数的性质(1)传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，分子的阶数 m 一般低于或等于分母的阶数 n， 即 mn，且所有系数均为实数。
4、 (2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。 (3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。(4) 若下式中 s= 0，则 称为传递系数(或静态放大系数)。 (5) 传递函数只能表示输入与输出的函数关系，至于系统中的中间变量无法反映出来。(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。2.3.3典型环节及其传递函数2.4 控制系统的结构图2.4.1 结构图的概念。加可以不标注，但减一定要标注-（1）建立控制系统各元部件的微分方程。在建立微 分方程时，应分清输入量、输出量，同时应考 虑相邻元件之间是否有
5、负载效应。 （2）对各元件或部件的微分方程进行拉氏变换，并 作出各元件的结构图。 （3）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各部件 结构图连接起来，置系统输入变量于左端，输 出变量于右端。对同一个系统结构图不是唯一的例2 两级 RC 网络的结构图带有隔离放大器的两级 RC 网络：负载效应，后一级网络作为前一级网络的负载，对前级网络的输出电压 u1产生影响。注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串联表示组合网络的结构图，为了消除负载效应，可以在两级RC 电路之间插入隔离放大器。例3 位置随动控制系统：2.4.3 结构图的等效变换,1）串联连接,结论：结构图串联总传递函数等于各个环节传递函数的乘积2
6、）并联连接,结论：结构图并联总传递函数等于各个环节传递函数的代数例4. 求出如下所示结构图的传递函数。例5.求位置随动系统的闭环传递函数 GB(s)（即 c(s)/r(s)该结构图不是基本组成形式，需使用结构图的等效变换法则。结构图如下：(2)结构图的等效变换法则1）综合点（比较点）的移动a.综合点前移：b.综合点后移：c.综合点之间的移动：2）引出点（分支点）的移动：a.引出点后移 ：b.引出点前移：c.相邻引出点之间的移动 ：(3)结构图变换举例：例6简化结构图，并求系统传递函数 C(s)/R(s)：例7化简两级 RC 网络结构图，并求出传递函数 Uc(s)/Ur(s)。 简化结构图求总传
7、递函数的一般步骤：(1)确定输入量与输出量，如果作用在系统上的输入量有多个(分别作用在系统的不同部位)，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别处理。 (2)若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的单回路结构。 (3)对于回路可由里向外变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。2.5 控制系统的信号流图2.5.1 信号流图的定义信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络:a.节点标志变量(信号)；b.支路是连接两个节点的定向线段。有增益，称为支路增益 c.信号只能在支路上沿箭头方向传递。经支路传递的信号
8、应乘以支路的增益。输入节点:只有输出支路的节点。 输出节点: 只有输入支路的节点称为输出节点。 混合节点:既有输入支路又有输出支路的节点。通路:从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点所构成的路径。前向通路：从输入节点开始并终止于输出节点且与其它节点相交不多于一次的通路。回路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路。不接触回路：各回路之间没有任何公共节点。2.5.2 由系统结构图绘制信号流图： 例8 试将下图所示系统的结构图转化为信号流图2.5.3 用梅逊公式求传递函数:信号流图应用举例（一）下图中共有4个回路信号流图应用举例（二）信号流图应用举例（三
9、）试绘制三级 RC 滤波网络结构图，并求其传递函数 Uc/Ur。1.绘制结构图。用复阻抗与电压、电流关系，直接绘制：2.求传递函数。有5个回路，且传函相同。有6组两两互不接触的回路：-、- 、-、- 、- 、- 有1组三个互不接触的回路：- 流图特征式如下： 前向通路只有一条 2.6 控制系统的传递函数闭环控制系统典型结构：r(t) 输入信号，n (t)扰动（或干扰） ，c(t) 输出信号（被控量）1.系统的开环传递函数 ：断开主反馈，前向通路传函与反馈通路传函的乘积 注意：开环传递函数并不是第一章所述的开环系统的传递函数，而是指闭环系统在开环时的传递函数2.r(t)作用下系统的闭环传递函数：
10、 求出闭环传递函数：GB(s)输入 r(t)作用下系统的闭环传递函数。 输出函数的拉氏变换式：只有 r(t)作用时，系统的输出完全取决于 c(t)与 r(t)间的闭环传递函数及 r(t)的形式3. n(t)作用下系统的闭环传递函数：闭环传函：Gn(s)干扰 n(t)作用下系统的闭环传递函数。 输出函数的拉氏变换式干扰 n(t)与输入 r(t)进入系统的位置不一定相同，故 Gr(s)与 Gn(s)一般是不相同的4.系统的总输出：根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为 R(S)和 N(S)各外作用引起的输出的总和举例:位置随动系统结构图如下。试求系统在给定值 r(t)作用下的传递函数及在负载力矩
11、 ML 作用下的传递函数，并求两信号同时作用下，系统总输出 c(t)的拉氏变换式：解：（1）令 ML=0，求 c(s)/r(s)：（2）令 r=0，求 c(s)/ML(s）：（3）系统总输出： r 及 ML 同时作用： c(s)=G(s)r(s)+Gm(s)ML(s)5. 闭环系统的误差传递函数：规定：给定输入 r(t)与 c(t)测量值 b(t)之差为系统的误差 e(t)，令 N(S)=0，R(s)作用下则有：令 R(S)=0，N(s)作用下则有：系统的总误差：E(s)= Ge(s)R(s) +Gen(s)N(s)6. 闭环系统的特征方程:令闭环传函的分母:D (s)=1+G1(s)G2(s)H(s)=0 闭环特征方如果系统中控制装置的参数设置，能满足 |G1(s)G2(s)H(s)|1及|G 1(s)H(s)|1则系统的总输出表达式:可近似为：即 E(s) =R(s)-B(s) =R(s)-H(s)C(s)0 结论：反馈系统，若结构参数适当匹配，可获得较高的工作精度和很强的抑制干扰的能力，同时又具备理想的复现、跟随指令输入的性能，这是反馈控制优于开环控制之处。
