1、chpt2,1,第二章 控制系统的数学模型,（1）静态数学模型：在静态条件下，描述变量之间关系的代数方程。 静态条件：即变量各阶导数为零 如直流电路方程，直流电压，直流电流等等 （2）动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 如瞬态过程中的电路方程，电容电感的电磁惯性等,1.什么是控制系统的数学模型？,控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。,chpt2,2,2. 建立控制系统的数学模型的意义,定量研究控制系统的基础 为系统行为进行控制,3. 建立控制系统的数学模型的方法,两大类 （1）解析法：根据处理具体系统所服从的运动规律，运用适当的数学工具分别列写
2、相应的运动方程。 （2）实验法：在系统内部关系十分复杂时，为了某特定目的，可以通过实验地手段，测量该系统地输入输出量，然后运用“系统辨识”方法构建一个近似地数学模型。,chpt2,3,4. 建立控制系统的数学模型的工具,（1）微分方程 （2）差分方程 （3）传递函数 （4）结构图和信号流图 （5）实验所得的频率特性 （6）其它数学工具,chpt2,4,一、线性元件的微分方程,例2-3（图2-3）步骤：（1）确定输入量和输出量；（2）列写相应的微分方程；（3）消去中间变量，整理成标准形式。,2-1控制系统的时域数学模型,chpt2,5,二、控制系统微分方程的建立,步骤： （1）由系统原理图画出系
3、统方块图； （2）分别列写各元件（方块）的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。 注意：（1）信号传送的单向性；（2）后级对前级的负载效应。,chpt2,6,图2-5速度控制系统,chpt2,7,三、线性系统的特性,若f1（t）c1（t），f2（t）c2（t）； 则a1f1（t）+a2f2（t）a1c1（t）+a2c2（t） (1)、可叠加性 (2)、均匀性,1.什么是线性方程？,由线性微分方程描述的系统。,2.线性方程的性质：,chpt2,8,3. 线性系统的应用,（1）多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的叠加。,（2）零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。,（3）系统对输
4、入和干扰分别研究,（4）只有线形时不变微分方程才能运用Laplace变换为代数方程。,chpt2,9,四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）,1微分方程的解法 （1） 直接解析法（分离变量法）适用于变量少量简单的情况 （2）Laplace变换解析法仅适用于线形时不变情况 （3）状态转移矩阵法仅适用于线形时不变情况 （4）数值法适用于所有情况,chpt2,10,例26 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。,解：,【RLC无源网络微分方程】为：,令
5、,chpt2,11,待入整理得：,其中：,chpt2,12,由输入电压产生的输出分量 与初始条件无关,零初始条件响应,零输入响应,由初始条件产生的输出分量 与输入电压无关,零初始条件响应零输入响应单位阶跃响应,chpt2,13,利用Laplace变换的初值定理和终值定理，可以直接计算出 u0(t)的初始值和终值。,计算结果与时域表达式求得的数值一致。,chpt2,14,2. 用Laplace变换求解线形定常微分方程的步骤归纳：,（1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程； （2）由代数方程求出输出量的拉氏变换表达式，使之成为典型分式之和； （3）
6、反变换得到输出量的时域表达式。,chpt2,15,五. 非线性微分方程的线性化,非线性元件线性化 切线法（小偏差法）,步骤： 先写出非线性函数：在平衡点附近用泰勒级数展开,chpt2,16,写出增量线性化微分方程,略去增量符号，便得到函数在工作点A附近的线性化方程：,将一阶导数项近似式代入方程,chpt2,17,(例2-7),chpt2,18,续（例2-7）,chpt2,19,五、运动的模态（振型）Mode,（1）定义：所谓模态，即齐次微分方程的独立解，n 阶微分方程有n个独立解。每一种模态代表一种类型的运动形式。微分方程的通解是这些独立 解的线性组合。 （2）特征根与模态形式的关系,chpt
7、2,20,2-2控制系统的复数域数学模型,(1)传递函数的由来 对初始条件为零的微分方程进行Laplace变换,得到 复数域中的数学模型。 （2）传递函数的优点 使时域微分方程变成频域代数方程，减少了问题 的复杂度。 传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以 用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。 传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念， 是频率法和根轨迹法的基础。,一.传递函数（Transfer function）,chpt2,21,（2）传递函数的局限性 只适合线性时不变系统，全零初始条件 只适用于解析计算，但不适用于数值计算,chpt2,22,一、传递函数的定义和性质,
8、1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之间关系。C(S)=G(S)*R(S) 其中G(S)称为传递函数。 2.相应方块图,chpt2,23,2、性质： （1）是复变量s的有理真分式函数，mn，所有系数均为实数。 （2）只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。 （3）与微分方程一一对应。 （4）其拉氏反变换是脉冲响应。 可表征控制系统的动态性能，并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应。,3.一般形式 见书P29-30 (2-36) (2-37),chpt2,24,零初始条件的两个含义：（1）指系统处于“静态”，输出量及其各阶导
9、数在 T=0时为零。（2）指系统处于“静态”，输入量及其各阶导数在 T=0时为零。,chpt2,25,2.传递函数的几种表达式A. 传递函数的“有理分式”型（1）表达式 G(S)=书P31 (2-37)(2)由微分方程Laplace变换，结构图，信号流图综合 及其他运算后的得到的传递函数通常都写称有理式。(3)该形式在观察初值，终值时特别直观,chpt2,26,B.传递函数的零点增益形式 （1）表达式 G(S)=书P32 (2-41) （2）分子分母写成“单阶因子”的形式 （3）Z是传递函数的零点，P是传递函数的极点。K为传递系数或根轨迹增益。 （4）零极点可以为实数或复数。 （5）该形式观察
10、零极点分布十分方便。,chpt2,27,C.传递函数的“标准因子”形式 （1）表达式 G(S)=书P32 (2-42) （2）常数项系数为1 （3）分子分母均分解成“标准因子”乘积 （4）各因子中，系数都是实数。 （5）该形式适合绘制对数幅频曲线（Bode）。,chpt2,28,D.传递函数的“部分分式”形式 （1）表达式,（2）该形式适合通过Laplace反变换求得时域响应。,chpt2,29,二、传递函数的零点和极点,零点zi;极点pj;传递系数(或根轨迹增益)K=bm/an;零极点分布图,三、传递函数的极点和零点对输出的影响1、 极点决定了固有响应的模态 2、 零点影响各模态在响应中所占
11、的比重（图2-9）,chpt2,30,输入产生的强迫运动分量 其函数形式与输入相同,被输入激发产生的Mode 分别对应系统极点1和2 他们构成自由运动分量,chpt2,31,chpt2,32,四、典型元部件的传递函数,机械、电子、液压、光学及其它,chpt2,33,1.电位器,chpt2,34,线位移、角位移电压量 (1) 单个电位器 u（t）=K1（t） U(s)=K1(s) G(s)=U(s)/ (s)=K1(2) 误差检测器 u（t）= u1（t）-u2（t） = K11（t）-2（t）=K1（t）U(s)=K1(s) G(s)=U(s)/ (s)=K1,chpt2,35,chpt2,3
12、6,2. 测速发电机,角速度电压量（直流、交流）u（t）=Kt（t）=Ktd（t）/dt U(s)=Kt(s)= Kts(s)G(s)=U(s)/ (s)=Kt G(s)=U(s)/ (s)=Kts,chpt2,37,3.电枢控制直流伺服电动机,电枢控制直流伺服电动机简化后的微分方程为：令Mc(t)=0,得电枢电压ua(t)到转速wm(t)的传递函数：令ua(t) =0,得负载扰动转矩Mc(t)到转速wm(t)的传递函数：,chpt2,38,4. 两相伺服电动机,小功率交流执行机构 重量轻、惯性小、加速特性好线性化,chpt2,39,Mm=-Cm+Ms 式中， Mm是电动机输出转矩； m是电动
13、机角速度； C=d Mm /dm是阻尼系数； Ms是堵转转矩，Ms =Cmua，CM=Ms/E。 不考虑负载转矩时式中,m是电动机转子角位移；Jm是折算到电动机上的总转动惯量；fm是折算到电动机上的总粘性摩擦系数。,chpt2,40,消去中间变量，并取拉氏变换，得式中，Km=CM/(fm+C)是电动机转动系数；Tm=Jm/(fm+ C)是电动机时间常数。 由于m(s)=s(s)，所以,chpt2,41,5. 无源网络,校正元件 例2-8负载效应（图217负载效应示例）,chpt2,42,6.单容水槽,水位控制 （图2-18）,chpt2,43,7.电加热炉,热处理 （图2-19）,chpt2,
14、44,8.有纯延迟的单容水槽,chpt2,45,9.双容水槽,（图2-20）,chpt2,46,2-3控制系统的结构图与信号流图,概述控制系统的结构图【Block Diagram】和信号流图【Signal Flow Graph】都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形表示系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算描述复杂系统的简便方法,chpt2,47,两种图比较,chpt2,48,系统结构图的组成和绘制,组成 由对信号单向运算的方框和信号流向线组成。 2.结构图的基本单元,（1）信号线,带箭头的直线 箭头表示信号的流向 直线旁标记信号的时间函数或象函数,四种基本单元,（2）引出
15、点 （或测量点）,信号引出或测量位置 同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同,u(t),U(s),u(t),U(s),chpt2,49,（3）比较点 （或综合点）,表示对两个以上信号进行加减运算 “”表示相加“”表示相减 “”可忽略不写,（4）框图 （或环节）,方框表示对信号进行的数学变换 方框内写入元部件或系统的传递函数,C(s)=G(S)*U(S),四种基本单元,chpt2,50,(1) 写运动方程，进行Laplace变换,比较电路,放大器,两相伺服系统,绳轮传动机构,测量电位器,chpt2,51,比较电路,chpt2,52,放大器,chpt2,53,两相伺服系统,chpt2,54,测
16、量电位器,绳轮传动机构,用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连接起来。见书P43页图2-23,chpt2,55,(1)分别列写各元部件的运动方程，并在零初始条件下进行Laplace变换。(2)根据各元部件在系统中的工作关系，确定其输入量和输出量，并按照各自的运动方程化出每个元部件的方框图。(3)用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连接起来。,绘制系统结构图基本步骤：,chpt2,56,二、 结构图的等效变换和简化,1.串联,有U(s)=G1(s).R(s)C(s)=G2(s).U(s) 整理 有：C(s)=G1 (s) .G2 (s) .R(s),G(s)=G1 (s) .G2 (s),结
17、论：N个方框串联的等效传递函数等于N个传递函数之乘积。,chpt2,57,2.并联,有C1(s)=G1(s).R(s)C2(s)=G2(s).R(s) 整理 有：C(s)=G1 (s) G2 (s) .R(s),G(s)=G1 (s) G2 (s),结论：N个方框串联的等效传递函数等于N个传递函数之代数和。,chpt2,58,3. 反馈,有C (s)=G (s)*E(s)B(s)=H(s)*C(s)E(s)=R(s) B(s) 整理有：C(s)= *R(s),G(s)=G1 (s) G2 (s),结论：闭环传递函数 “+”正反馈 “-” 负反馈,G (s),C(s),H (s),chpt2,5
18、9,4. 比较点和引出点的移动,移动前后必须保持信号的等效性 比较点和引出点之间一般不交换位置 “-”可以在信号线上移动，但不能越过比较点和引出点。表2-1/P49,chpt2,60,*例2-14 *,例2-14,chpt2,61,chpt2,62,*例2-15 *,chpt2,63,*例2-16 *,chpt2,64,三、信号流图的组成及性质,1.起源 梅森Mason图示法描述一个或一组线性代数方程式。 由节点和支路组成。 2. 基本单元 节点：代表变量；用小圆圈表示。 支路：代表因果关系的乘法因子；表示两个变量之间的传递方向及增益，用单向线段表示。,chpt2,65,典型信号流图,由图得：
19、,chpt2,66,3. 基本性质,（1）节点代表的变量 （2）每个节点变量等于所有流入该节点的信号之代数和。 （3）从该节点流出的信号都等于该节点变量。 （4）支路代表因果关系的乘法因子。相当于乘法器， 信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 （5）在支路上信号传递是单向的。 （6）信号流图不是唯一的。,chpt2,67,【源节点】【输入节点】:只有信号输出支路，没有信号输入支路。 【阱节点】【输出节点】：只有信号输入支路，没有信号输出支路。 【混合节点】：既有信号输出支路，又有信号输入支路。,4.常用术语,chpt2,68,【前向通路】：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只
20、通过一次的通路。前向通路上个支路增益的乘积称为【前向通路总增益】。 【回路】【单独回路】：起点和终点在同一节点，而且信号通过每个节点不多于一次的闭合通路。 【不接触回路】：回路之间没有公共节点。,chpt2,69,四、信号流图的绘制,1、 由系统微分方程绘制信号流图：先取拉氏变换，再绘制。 例2-17,chpt2,70,2、由系统结构图绘制信号流图,chpt2,71,比较点和节点对应关系,chpt2,72,例2-18,chpt2,73,五、梅森增益公式,1、 推导:用可莱姆法则求解线性方程组(P58),【图2-45典型信号流图】,chpt2,74,具有任意条【前向通路】及任意个【单独回路】和【
21、不接触回路】的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的Mason增益公式为：,其中： P：为从源点到阱点的传递函数【总增益】 N为从源点到阱点的前向通路总数 Pk：为从源点到阱点的第k条前向通路总增益,chpt2,75,【流图特征式 】：1La+ LbLc- LdLeLf.其中 La所有单独回路增益之和。 Lb Lc所有互不接触单独回路中，每次取2个回路的回路增益乘积之和。 Ld Le Lf所有互不接触单独回路中，每次取3个回路的回路增益乘积之和。 【流图余因子式 k】：等于流图特征式中除去与第k条前向通路相接触回路增益的余项。（包括回路增益乘积项）,Mason增益公式,chp
22、t2,76,Mason公式说明： （1）对于给定的系统信号流图，流程特征式是确定不变的。 （2）对于不同的源节点和阱节点的前向通路和余因子i不同。,chpt2,77,N=2 , 单独回路3个，增益分别为bf , cg , dh 两不互接触回路1个，增益为bfdh =1-(bf+cg+dh)+bfdh P1=e 1=1-(bf+cg) P2=abcd 2=1,chpt2,78,例2-19,chpt2,79,例2-20,chpt2,80,例2-21,chpt2,81,例2-22,chpt2,82,例2-23,chpt2,83,五、闭环系统的传递函数,1、 输入信号下的闭环传递函数：令N(s)=0,
23、得,（图2-51反馈控制系统的典型结构图和信号流图）,chpt2,84,2、 扰动作用下的闭环传递函数：,(图2-52在扰动作用下系统结构图),令R(s)=0,得,chpt2,85,当输入信号R(s)和扰动作用N(s)同时作用时，系统的输出为 C（s）=(s)R(s)+N(s)N(s) 如果满足|G1(s)G2(s)H(s)| 1 , 和|G1(s)H(s)| 1的条件， 则可简化为 C(s)R(s)/H(s) 特别是当 H(s)=1，即单位反馈时， C(s)R(s) 从而近似实现了对输入信号的完全复现，且对扰动具有较强的抑制能力。,chpt2,86,3、闭环系统的误差传递函数：,特征式：=1+ G1(s)G2(s)H(s) 其中 G1(s)G2(s)H(s)称为系统的开环传递函数或回路增益。,
