1、1,4.4 系统的根轨迹分析4.5 系统的频域分析4.6 系统的性质分析4.7 离散系统的分析,第四章 控制系统数学模型的MATLAB实现,4.2 系统的组合和连接,4.1 反馈控制系统的数学模型及其转换,4.3 系统的时域分析,2,4.1 反馈控制系统的数学模型及其转换,控制系统的分析是系统设计的重要步骤之一 (1) 在设计控制器前要分析系统的不可变部分，确定原系统在哪些方面的性能指标还不满足设计要求，有针对性的设计控制器； (2) 控制器设计完成后要验证整个闭环系统的性能指标是否满足设计要求。 在控制系统基本理论和控制系统工具箱函数的基础上，利用MATLAB语言及其工具箱来解决控制系统的分
2、析问题，包括系统模型的建立、模型的转换以及线性系统的时域分析、频域分析、根轨迹分析和系统的稳定性分析，为系统的仿真和设计做准备.,下 页,上 页,3,为了对系统的性能进行分析首先要建立其数学模型 ，在MATLAB中提供了3种数学模型描述的形式：（1）传递函数模型tf(）（2）零极点形式的数学模型zpk ()（3）状态空间模型ss() 本节首先介绍利用MATLAB提供的3个函数来建立系统的数学模型，下一节在此基础上介绍各种数学模型之间的相互转换。,下 页,上 页,4,4.1.1 系统的数学模型 (3+1)种,格式：systf（num，den）功能：建立系统的传递函数模型说明：假设系统是单输入单输
3、出系统（简称SISO），其输 入输出分别用u（t），y（t）来表示，则得到线性系统的传递函数模型：,在MATLAB语言中，可以利用传递函数分子、分母多项式的系数向量进行描述。分子num、分母den多项式的系数向量分别为:,这里分子、分母多项式系数按s的降幂排列。,1tf 传递函数模型,下 页,上 页,5,解: 程序如下num=2 9;den=1 3 2 4 6;sys=tf(num,den),下 页,上 页,程序运行结果:Transfer function: 2 s + 9-s4 + 3 s3 + 2 s2 + 4 s + 6,6,解: 程序如下num=7*2 3;den=conv(conv(
4、conv(1 0 0,3 1) , conv(1 2,1 2), 5 3 8);sys=tf(num,den),下 页,上 页,程序运行结果:Transfer function: 14 s + 21-15 s7 + 74 s6 + 143 s5 + 172 s4 + 140 s3 + 32 s2,7,2zpk 零极点形式的数学模型,格式：syszpk(z,p,k), 功能：建立零极点形式的数学模型说明：系统的传递函数零极点模型一般表示为：,下 页,上 页,其中 Zi（i1,2,m）和 Pi（i1,2,n）分别为系统的零点和极点，K为系统的增益。z、p、k分别为系统的零点向量、极点向量和增益向量
5、。,8,解: 程序如下z=-4;p=-1 -2 -3;k=5sys=zpk(z,p,k),上面的程序也可用下面的一行语句替换,sys=zpk(-4,-1 -2 -3,5),下 页,上 页,程序运行结果:Zero/pole/gain: 5 (s+4)-(s+1) (s+2) (s+3),9,3SS 状态空间模型,格式：sysss（A,B,C,D），sysss（A,B,C,D,T）功能：建立系统的状态空间模型，其中，T为取样时间说明：状态方程是研究系统的最为有效的系统数学描 述，在引进相应的状态变量后，可将一组一阶微分方程表示成状态方程的形式。,下 页,上 页,B为nm维系统输入阵；C为 l n维
6、输出阵；D为 l m维直接传输阵。,A为nn的系统状态阵, 由系统参数决定; U为m1 维输入矩阵;,其中:X为n1维状态向量，Y为 l 1维输出向量。,10,例4-3a 已知状态方程如下： 建立系统的状态空间模型。解： 程序如下：A=1 2;3 4B=5 6;7 8C=1 4D=6 9sys=ss(A,B,C,D),下 页,上 页,结果如下：A= x1 x2 x1 1 2 x2 3 4 B = u1 u2 x1 5 6 x2 7 8 C= x1 x2 y1 1 4D= u1 u2 y1 6 9Continuous-time model.,11,12,4Simulink模型,不一定非要用数学表
7、达式描述的数学模型对象才能对系统进行仿真，恰恰相反，就有不用数学表达式描述的数学模型对象，也能对系统进行仿真，这就是MATLAB特有的一种数学模型，即就是Simulink模型窗口里的动态结构图。 只要在Simulink工作窗里，按其规则画出动态结构图，再按规则将结构图的参量用实际系统的数据进行设置，就是对系统建立了数学模型，而且用Simulink模型窗口里的动态结构图来求系统的传递函数，还用来直接方便地对系统进行各种仿真，这一方法使用的极其广泛。,13,4.1.2 模型的转换,在进行系统分析时，往往根据不同的要求选择不同形式的数学模型，因此经常要在不同形式数学模型之间相互转换，下面介绍三种模型
8、之间的相互转换函数。,1、 ss2tf函数 将状态空间形式转换为传递函数形式 格式： num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu),说 明： ss2tf 函数可以将状态空间表示通过,其中：iu用于指定变换所使用的输入量（个数）；num和den分别为传递函数的分子、分母多项式系数向量。ss2tf还可以应用离散时间系统，这时得到的是Z变换表示。,转换为传递函数形式。,下 页,上 页,14,程序如下： A=2 0 0;0 4 1;0 0 4, B=1 0 1 , C=1 1 0, D=0, num,den=ss2tf(A,B,C,D,1),显示结果：num = 0 1.0000 -7.0000
9、 14.0000den = 1 -10 32 -32,传递函数的分子传递函数的分母,其中，“1”指1个输入, 可缺省不写,下 页,上 页,15,2. ss2zp函数 将系统的状态空间模型转换为零极点增益模型 格式：z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) 式中, iu用于指定变换所使用的输入量（个数）.3. tf2ss函数 将系统的传递函数模型转换为状态空间模型。 格式：A,B,C,D=tf2ss（num，den）,下 页,上 页,4. tf2zp 将系统的传递函数模型转换为零极点增益模型 格式：z,p,k=tf2zp(num,den),5.zp2ss 将系统的零极点增益模型转换为状态空
10、间模型。 格式：A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)6.zp2tf 将系统零极点增益模型转换为传递函数模型。 格式：num,den=zp2tf(z,p,k),16,解: num=18 36; den=1 40.4 391; A,B,C,D=tf2ss(num,den）,运行程序显示结果:A= -40.4000 -391.0000 1.0000 0B = 1 0C = 18 36D = 0,例4-5：已知系统的传递函数为,应用MATLAB的模型转换函数将其转换为状态方程形式的模型。,17,解：应用tf2ZP转换函数将传递函数转换为零极点模型.程序如下mun=18 36den=1 40.4 3
11、9 150 z,p,k=tf2zp(num,den),下 页,上 页,z = 3.5000 + 1.3229i 3.5000 - 1.3229ip = -39.5090 -0.4455 + 1.8969i -0.4455 - 1.8969ik = 1.0000,18,7、 由方框图建模 控制系统工具箱中提供了方框图建模函数 connect( ) 格式： A,B,C,D=connect(a, b, c,d, q, iu, iy) blkbuild %”blk”即是block（块），从方框图中构造状态空间系统 功能：将方框图模型描述转换成状态空间模型。 式中：q矩阵规定了各框之间的连接关系。其每
12、一行的第一个元素是框号，其余的元素依次是与 该框连接的框号； iu、 iy分别表示输入、输出施加的框号。,下 页,上 页,19,例4-6：如下图所示，将由框图表示的系统转换成状态空间描述和传递函数,程序如下：%建立各框传递函数的分子分母n1=1;d1=1; n2=0.5;d2=1; n3=4;d3=1 4;n4=1;d4=1 2; n5=1; d5=1 3; n6=2;d6=1;n7=5; d7=1; n8=1; d8=1;nblocks=8; %指定块的总数blkbuild %从方框图(block build) 中构造状态空间系统,下 页,上 页,20,q=1 0 0 0 0; 2 1 -6
13、 -7 -8; 3 2 0 0 0; 4 3 0 0 0; 5 4 0 0 0; 6 3 0 0 0; 7 4 0 0 0; 8 5 0 0 0,% q矩阵表示框图的结构。由于前向通道有5个框，所以q矩阵有5列元素。共有8个框，每行第1个元素为框号，如第2个框与第1个框按1的关系连接，与第6、7、8个框按-1关系连接，.依次类推。,iu=1; %输入施加于第1个框上iy=8; %输出施加第8个框上A,B,C,D=connect(a,b,c,d,q,iu,iy)num,den=ss2tf(A,B,C,D,1) %转换成传递函数，式中”1”是指输入个数1个,下 页,上 页,21,显示结果如下：,S
14、tate model a,b,c,d of the block diagram has 8 inputs and 8 outputs.A = -8.0000 -2.5000 -0.5000 4.0000 -2.0000 0 0 1.0000 -3.0000B = 0.5000 0 0C = 0 0 1D = 0num = 0 0.0000 0.0000 2.0000den = 1.0000 13.0000 56.0000 80.0000,下 页,上 页,22,4.2 系统的组合和连接,所谓系统组合，就是将两个或多个子系统按一定方式加以连接形成新的系统。这种连接组合方式主要有串联、并联、反馈等形
15、式。MATLAB提供了进行这类组合连接的相关函数。,1. series 系统的串联格式1：sysseries（sys1,sys2），格式2：sysseries（sys1,sys2,outputs1,inputs2）功 能：用于将两个线性模型串联形成新的系统即 syssys1*sys2,说明：格式1：对应于SISO系统的串联连接。 格式2：对应于MIMO系统的串联连接； 其中 sys1的输出向量为outputs1 sys2的输入向量为inputs2,下 页,上 页,23,格式1：sys=parallel(sys1,sys2)格式2：sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,o
16、ut1,out2)功能： 将两个系统以并联方式连接成新的系统， 即sys=sys1+sys2。,格式1：对应于SISO系统的并联连接。并联后其输出为sys1 和 sys2这两个系统的输出之和。格式2：对应于MIMO系统的并联连接。in1与in2指定了相连 接的输入端，out1和out2指定了进行信号相加的输出端,下 页,上 页,2Parallel-系统的并联,说明：并联连接时，输入信号相同，并联后其输出为sys1和sys2 这两个系统的输出之和。若用传递函数来描述，则系统输出 Y(S)=Y1(S)+Y2(S)=G1(S)U(S)+G2(S)U(S) =G1(S)+G2(S)U(S) 所以总的传
17、递函数为 G(s)=G1(s)+G2(s)。,24,例 4-7 已知两个线性系统 ，分别应用series和parallel函数进行系统的串并联连接。,num1=12 4;den1=1 5 2;sys1=tf(num1,den1) %创建传函1num2=1 6;den2=1 7 1;sys2=tf(num2,den2) %创建传函2Sys_series=series(sys1,sys2) %两系统的串联，或用sys1*sys2Sys_parallel=parallel(sys1,sys2) %两系统的并联,或用sys1+sys2,程序如下：,下 页,上 页,25,显示结果： 12 s + 4Tr
18、ansfer function: - s2 + 5 s + 2 s + 6Transfer function: - s2 + 7 s + 1 Transfer function: 12 s2 + 76 s + 24 - s4 + 12 s3 + 38 s2 + 19 s + 2 13 s3 + 99 s2 + 72 s + 16Transfer function: - s4 + 12 s3 + 38 s2 + 19 s + 2,下 页,上 页,传函sys1,传函sys2,两系统串联后的传函,两系统并联后的传函,26,3feedback 系统的反馈连接 格式1：sys=feedback(sys1
19、,sys2,sign) 格式2：sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign) 功能： 实现两个系统的反馈连接。 说明： 格式1：对于SISO系统，sys1表示前向通道传函， sys2表示反馈通道传函, sign=1,正反馈. sign=-1,负反馈 (默认值,可省略) 格式2：在已确立的MIMO系统sys1中,sys2表示反 馈通道传函。其中feedin和feedout 分别指定了sys1的输入、输出端口号。最终实 现的反馈系统与sys1具有相同的输入、输出端. sign含义同格式1,下 页,上 页,27,程序如下: A1=1 0;0 1; B1=1
20、1;0 1;C1=1 3;2 0;D1=1 0;2 5; A2=-2 0;1 0;B2=1 0;C2=0 1;D2=0;sys1=ss(A1,B1,C1,D1); sys2=ss(A2,B2,C2,D2); %建立两系统的状态空间模型feedin=1;feedout=2;sign=-1;sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign),下 页,上 页,由sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)得：,28,4.3 线性系统的时域分析,系统的时域分析是指输入信号采用单位阶跃或单位冲激函数，其响应是时间t的函数，称为
21、时域响应。从时域响应可以获得系统的各个方面的性能。,1、 impulse 求连续系统的单位冲激响应。 格式1：impulse(sys) Y,X,T=impulse(sys) 格式2：impulse(sys,t) Y,X=impulse(sys,t) 格式3：impulse(sys,iu) Y,X,T=impulse(sys,iu) 格式4：impulse(sys,iu,t) Y,X=impulse(sys,iu,t) 说 明：sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型。其中 T是时间向量对于不带返回参数的该函数在当前窗口中绘制出响应曲线。对于带有返回参数的将不绘制曲线,其中Y是输出向量
22、 X是状态向量。t为用户设定的时间向量,即仿真时间。对于MIMO系统,iu表示第iu个输入到所有输出的冲激响应曲线.注意函数内的时间参数t写在sys之后.,下 页,上 页,29,显示结果如下：,即为整个系统状态方程的系数矩阵,下 页,上 页,a = x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 -1 x2 0 1 0 0 x3 2 0 -2 -2 x4 0 0 1 0,b = u1 u2 x1 1 1 x2 0 1 x3 2 5 x4 0 0,c = x1 x2 x3 x4 y1 1 3 0 -1 y2 2 0 0 -2,d = u1 u2 y1 1 0 y2 2 5Continuous-time
23、 model.,30,解： G=tf(4,1 2 3 4); Gc=tf(1 -3,1 3);H=tf(1,0.01 1);G1=G*Gc; G2=feedback(G1,H);impulse(G2); %作整个反馈控制系统的冲激响应曲线, figure,impulse(G1) %作前向通道传函所代表的系统的冲激响应曲线,求系统的开环和闭环单位脉冲响应。,下 页,上 页,31,开环系统的单位冲激响应,闭环系统的单位冲激响应,运行结果如下：,下 页,上 页,32,注意： 上述程序也可由plot()作图函数实现. G=tf(4,1 2 3 4); Gc=tf(1 -3,1 3);H=tf(1,0.
24、01 1);G1=G*Gc; G2=feedback(G1,H);y,x=impulse(G2); plot(x,y) y1,x1=impulse(G1);figure, plot(x1,y1),下 页,上 页,33,注意：若要求两个波形显示在同一图形窗口中,并加有图例说明.,G=tf(4,1 2 3 4); Gc=tf(1 -3,1 3);H=tf(1,0.01 1);G1=G*Gc; G2=feedback(G1,H);impulse(G,b) %作原系统的冲激响应曲线 hold on %保持作图impulse(G1,g) %作引入控制器后系统的冲激响应曲线 hold on %保持作图im
25、pulse(G2,r); %作引入反馈控制系统的冲激响应曲线Legend(原系统G,引入控制器后的G1,引入反馈系统后的G2) %图例说明grid %生成网格,下 页,上 页,34,35,2、 step 求连续系统的单位阶跃响应。格式1： step (sys) Y,X,T=step(sys)格式2： step (sys,t) Y,X=step(sys,t)格式3： step (sys,iu) Y,X,T=step(sys,iu)格式4： step (sys,iu,t) Y,X=step(sys,iu,t)说 明：step()中的参数意义和implse()函数相同。 sys为tf(),zpk()
26、,ss()中任一种模型。其中 T是时间向量.,对于不带返回参数的该函数在当前窗口中绘制出响应曲线。对于带有返回参数的将不绘制曲线, 其中X是状态向量, Y是输出向量 。t为用户设定的时间向量,即仿真时间。对于MIMO系统,iu表示第iu个输入到所有输出的冲激响应曲线.,下 页,上 页,36,G=tf(1 7 24 24,1 10 35 50 24);y=step(G)y1=size(y) % 可得y是101X1阶列向量t=0:0.1:10; %t与y有相同的长度plot(t,y) %绘制传递函数模型的单位阶跃响应曲线grid,解: 程序如下:,下 页,上 页,37,用plot(t,y)所绘制的
27、阶跃响应曲线,注意: 可以不定义t,直接用语句step(G) 绘制传递函数G的单位阶跃响应曲线,例4-10 图(a),下 页,上 页,38,直接用step(G)所绘制的阶跃响应曲线,G=tf(1 7 24 24,1 10 35 50 24);step(G)grid,注意: 横坐标最大值范围变了，纵坐标仍然 01,例4-10 图(b),下 页,上 页,39,G=tf(1 7 24 24,1 10 35 50 24);t=0:0.1:10; step(G,t) %注意t的位置在后，而plot作图函数的写法是plot(t,y),且这里的y只能数组，不能是传递函数grid,直接用step(G)给图时,
28、用户也可设定仿真时间 t,例4-10 图(c),下 页,上 页,40,例4-11：求下面的零极点模型的单位阶跃响应曲线。,解: 程序如下:z=-1 2;p=-0.5 -1.5 -3 -4 -5; k=6;G=zpk(z,p,k); %建立零极点模型Step(G) %绘制零极点模型的单位阶跃响应曲线,下 页,上 页,41,系统的特征方程为,过阻尼,系统的特征根为,（即有 1）称为阻尼比,二阶系统的阶跃响应,下 页,上 页,42,（2）欠阻尼,系统的特征根为,（即 0 1 ）, 称为阻尼比,下 页,上 页,43,3）临界阻尼,系统的特征根为,（即阻尼比 =1）,下 页,上 页,44,例4-12：典
29、型二阶系统传递函数为：试分析不同参数下的系统单位阶跃响应,解：1、假设将自然频率固定为 1，0,0.1,1,2,3,5。,程序如下:wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5;t=0:0.1:12;for i=1:length(zetas) G=tf(wn2,1,2*zetas(i)*wn,wn2); hold on step(G,t);endhold offgrid,-称阻尼比,下 页,上 页,45,显示结果如下:,下 页,上 页,=0,=0.1,=1,=5,由图可知,阻尼系数从0值增加到5的过程,系统从等幅振荡到减幅振荡到非振荡变化,46,当=0时,即R=0 为等幅振荡,当=0.1时
30、,R0为欠阻尼振荡放电过程,step(G,g,t);作图为绿色,step(G, t) 默认作图颜色为蓝色,下 页,上 页,47,当=1时, 为临界阻尼非振荡放电过程,下 页,上 页,48,2、将阻尼比的值固定在0.55，自然频率 变化范 围为0.11,程序如下:wn=0.1:0.1:1;zetas=0.55;t=0:0.1:12;for i=1:length(wn) G=tf(wn(i)2,1,2*zetas*wn(i),wn(i)2); hold on step(G,t);endhold off,注意0.55 rfinputsOnly available for state-space mo
31、dels.,即指出:只能是状态空间模型,52,4 lsim 求任意输入信号时系统的响应 格式1：lsim(sys1,u,t) Y,X=lsim(sys1,u,t) 格式2：lsim(sys2,u,t,x0) Y,X=lsim(sys2,u,t,x0) 说明： u为输入信号. t 为用户设定的时间向量,即仿真时间. sys1为tf( )或zpk( )模型。 sys2为ss( )模型。其中 x0为初始条件,下 页,上 页,53,程序如下： t=0:0.1:5;u=4*exp(-3*t);num= 1,7,24,24;den=1,10,35,50,24; lsim(num,den,u,t), leg
32、end(系统曲线,输入信号曲线)grid,试绘制当输入信号为u=4e-3t时，该系统的响应曲线。,注意：图释语句和网格线语句均必须置于作图语句 后，才能生效。,54,55,下 页,上 页,4.4 线性系统的根轨迹,一、定义 根轨迹指当系统开环放大倍数K从0到时,闭环特征方程的根在复平面上的轨迹。是美国学者W.R.埃文斯在1948年提出的根轨迹方法。,可见，根轨迹法是一种直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法.,二、意义 利用根轨迹来分析系统的暂态和稳态性能。三、根轨迹的分类,或根轨迹法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环特征根轨迹。,56,下 页,上 页,四、根轨迹方程,如图所示
33、，设前向通道传递函数为 kG(S)=knum/den,其闭环系统的传递函数为,闭环系统的根轨迹方程（即闭 环系统的特征方程）如下：,五、根轨迹的画法,规则如下：,n-为开环传递函数分母的阶数，m-为分子阶数,57,1、 pzmap 绘制系统的极、零点图。格式1：pzmap(A,B,C,D) p,z=pzmap(A,B,C,D)格式2：pzmap(num,den) p,z=pzmap(num,den) 格式3：pzmap(p,z) 说明： 极点用“”表示，零点用“o”表示。 对于不带返回参数的将绘制零极点图。 对于带有返回参数的将不作图,其中返回参数P为极点的列向量， z为零点的列向量。格式3
34、是将已知的零点z极点p绘制在复平面上。,MATLAB专门提供了绘制根轨迹的函数： rlocus( ) 绘制根轨迹, rlocfind( ) 计算根轨迹的增益, pzmap( ) 绘制极零点图,下 页,上 页,58,例4-15 设连续系统要求绘制出零极点图。,解: 程序如下: num=0.05 0.045;den=conv(1 -1.8 0.9,1 5 6);p,z=pzmap(num,den)pzmap(num,den),下 页,上 页,得极点：p1 = -2.0000 ，p2=-3.0000 p3= 0.9000 + 0.3000i, p4=0.9000 - 0.3000i，零点 z = -
35、0.9000,p1,p2,p3,p4,z,根据图可知：系统是不稳定的,59,2、rlocus 求系统根轨迹。格式1： rlocus(num,den) P,K=rlocus(num,den) rlocus(num,den,k) P,K=rlocus(num,den，k)格式2： rlocus(A,B,C,D) P,K=rlocus(A,B,C,D) rlocus(A,B,C,D,k) P,K=rlocus(A,B,C,D,k)说明： 对于不带返回参数的将绘制根轨迹， 对于带有返回参数的将不作图。 k为用户设定的开环增益值，若省略, 机器会自动生成. P是对应开环增益K的闭环极点的位置。 P的列数
36、和增益K的长度相同，P的第m列元素是对于第m 个开环增益K的闭环系统的根注意：格式1适用于传递函数所表示的系统，格式2可绘出连续 系统和离散时间SISO状态空间表示的根轨迹。,下 页,上 页,60,3、rlocfind 计算根轨迹上指定点的开环根轨迹增益值K,并将该增益下所有的闭环极点显示出来。当这个函数启动起来之后，在图形窗口上出现要求用户使用鼠标定位的提示，这时用户用鼠标点击根轨迹上所要求的点后，将返回一个K值（此即为开环根轨迹增益值）,同时返回该K值下的所有闭环极点p的值，并将此闭环极点直接在根轨迹曲线上显示出来。 格式1：K,poles=rlocfind(A,B,C,D)格式2：K,p
37、oles=rlocfind(num,den),下 页,上 页,说明：式中， A、B、C、D为开环系统的状态方程系数矩阵； num、den为开环系统传递函数的分子、分母； k为相对应的开环增益向量； Poles为与开环增益k相对应的闭环极点。,61,下 页,上 页,格式： K,poles=rlocfind(A,B,C,D,P),K,poles=rlocfind(num,den,P),也可通过指定开环极点p得到开环增益的向量K 。,式中， p为指定的开环极点； A、B、C、D为开环系统的状态方程系数矩阵； num、den为开环系统传递函数的分子、分母； k为相对应的开环增益向量； Poles为与开
38、环增益k相对应的闭环极点。,说明： 求出根轨迹上离p点很近的一个根及所对应的增益K,62,下 页,上 页,解: 程序如下:num=0.05 0.045;den=conv(1 -1.8 0.9,1 5 6);G=tf(num,den)rlocus(G) %绘制由G构成的闭环系统根轨迹图K,Poles=rlocfind(G) %在根轨迹上任意选择一点，得到该点所对应的开环增益K以及与K所对应的闭环系统的极点poles。注意: 上述程序最后两行不能互换位置.,例4-16：设例4-15 中开环传递函数G(s)如下所示，绘制闭环系统的根轨迹图,63,运行程序显示图(a)后,同时在命令窗口中显示”Select a point in the graphics window“selected_point = 0.9313 + 1.4348i %用户在根轨迹图上任意选择的点A，如图(b)所示。K = 231.2700 %为根轨迹上指定的点A由函数 rlocfind 计算得到的开环增益值。Poles: p1=-3.8262 ,p2=-1.3673, p3=0.9967 + 1.4241i, p4=0.9967 - 1.4241iPoles为根轨迹上开环增益K所对应的所有闭环系统的极点。得到图（b),
