1、 4.7 正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,1.正弦定理和余弦定理,3.三角形面积,考点突破,考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,考点二 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状,考点三 正弦定理、余弦定理的综合应用,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S. (1)S= ah(h为BC边上的高). (2)S= absin C= acsin B = bcsin A.,
2、(1)S=2R2sin Asin Bsin C(R为ABC外接圆的半径); (2)S= (R为ABC外接圆的半径); (3)S= ; (4)S= pr .,知识拓展,1.(2018温州十校联合体期初)在ABC中,A=45,B=60,a=10,则b等于 ( D ) A.5 B.10 C. D.5,2.(教材习题改编)在ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C= ( B ) A.90 B.120 C.135 D.150,3.在ABC中,sin2A-sin2C=(sin A-sin B)sin B,则C等于 ( B ) A. B. C. D.,4.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
3、,若a2cos Asin B=b2sin Acos B, 则ABC的形状为 ( D ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形,5.若满足条件C=60,AB= ,BC=a的ABC有两个,那么a的取值范围是( C ) A.(1, ) B.( , ) C.( ,2) D.(1,2),解析 由正弦定理得 = ,a=2sin A. C=60,0A120. 又满足条件的ABC有两个,asin 60 a,即 a2.故选C.,利用正弦定理、余弦定理解三角形 典例1 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c= ,cos 2A-cos2B= sin
4、 Acos A- sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)求ABC的面积的取值范围.,考点突破,解析 (1)由题意得- = sin 2A- sin 2B, 即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B, sin =sin . 由ab,得AB,又A+B(0,), 2A- +2B- =,即A+B= ,所以C= .,(2)解法一:由c2=a2+b2-2abcos C知3=a2+b2-ab,所以3+ab=a2+b22ab,所以 ab3(当且仅当a=b= 时,等号成立),所以SABC= absin C ,又S ABC0,所以SABC . 解法二:因为 = = =2, 所以
5、a=2sin A,b=2sin B. 又A+B= ,所以SABC= absin C= sin Asin B,= sin Asin = sin Acos A+ sin2A = sin 2A- cos 2A+ = sin + . 又0A ,所以- 2A- ,- sin 1, 所以SABC .,探究 在本例条件下求下列量的取值范围: (1)ABC的周长; (2)2a+b; (3)ABC的内切圆半径r.,解析 (1)解法一:3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,所以(a+b)2-3=3ab (a+b)2, 当且仅当a=b时等号成立, 所以(a+b)212,a+b2 , 又ABC中,a+bc= ,
6、 所以 a+b2 , 则2 CABC=a+b+c3 . 解法二:因为 = = =2,所以a=2sin A,b=2sin B, 则a+b=2sin A+2sin B=2sin A+2sin =3sin A+ cos A=2 sin , 又0A ,所以 A+ , 则 sin 1, 所以 a+b2 ,2 CABC3 .,(2)2a+b=4sin A+2sin B=4sin A+2sin =5sin A+ cos A=2 sin(A +),其中sin = ,cos = ,又0A ,所以A+ +,又0sin = ,所以0 ,则 =sin sin(A+)1.故 2a+b2 . (3)SABC= (a+b+
7、c)r,r= = , 又a2+b2=3+ab, 所以(a+b)2=3+3ab,所以r= = = (a+b- ), 又 a+b2 ,所以0r .,易错警示 (1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误,要根据条件和三 角形的限制条件合理取舍. (2)求角时易忽略角的范围而导致错误,因此需要根据大边对大角,大角 对大边的规则,画图进行判断.,1-1 (2017贵州贵阳检测)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C= 120,a=2b,则tan A= .,解析 c2=a2+b2-2abcos C=4b2+b2-22bb =7b2,c= b,cos A= = ,sin A= = = ,
8、tan A= .,1-2 (2017浙江嘉兴基础测试)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且 acos B=bsin A. (1)求角B的大小; (2)若ABC的面积S= b2,求 的值.,解析 (1)由正弦定理得 sin Acos B=sin Bsin A,又sin A0,sin B= cos B,tan B= .又B(0,),B= . (2)由S= b2= acsin B= ac,得b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-ac,即a2+c2-2ac=0,亦即(a-c)2=0,a=c, =1.,利用正弦、余弦定理判断三角形的形状,典例2 设ABC的内角A,B,C所对的边分
9、别为a,b,c,若bcos C+ccos B= asin A,则ABC的形状为 ( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,解析 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, 得sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sin A, sin A=1,即A= .故选B.,探究 若将本例条件中的“bcos C+ccos B=asin A”改为“2sin Acos B=sin C”,试判断ABC的形状.,解析 ABC中,sin C=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 2sin Acos B=sin C, 2si
10、n Acos B=sin Acos B+cos Asin B, sin Acos B-cos Asin B=0, sin (A-B)=0, A,B(0,), A-B(-,), A-B=0,A=B,ABC是等腰三角形.,方法指导 利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路 (1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系, 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三 角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出 三角形的形状,此时要注意应用ABC中A+B+C=这个结论. 在两种解
11、法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因,式,以免漏解. 三角形中常见的结论: 在ABC中,A+B+C=. 在三角形中大边对大角,反之亦然. 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 三角形ABC内的诱导公式: sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C;sin =cos ;,cos =sin . 在ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60. ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c成等比数 列.,2-1 若AB
12、C的三个内角满足sin Asin Bsin C=51113,则 ABC ( C ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形,解析 由sin Asin Bsin C=51113及正弦定理得abc=51 113. 由余弦定理得cos C= 0,所以C为钝角,即ABC一定是钝角 三角形.,2-2 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则ABC的形状为 ( D ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形,解析 因为c-acos B=(2a-b)
13、cos A, C=-(A+B), 所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 所以cos A(sin B-sin A)=0, 所以cos A=0或sin B=sin A, 所以A= 或B=A或B=-A(舍去), 所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,正弦定理、余弦定理的综合应用 命题方向一 与三角形面积有关的问题,典例3 (2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c.已知sin A+ co
14、s A=0,a=2 ,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,解析 (1)由已知可得tan A=- ,所以A= .,在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4. (2)由题设可得CAD= , 所以BAD=BAC-CAD= . 故ABD面积与ACD面积的比值为 =1. 又ABC的面积为 42sinBAC=2 ,所以ABD的面积为 .,方法技巧 求三角形面积的两种方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求 解这个角的两边或该角的两边之积,套公式求面积. (2)若
15、已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,套 公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 命题方向二 与三角函数性质有关的综合应用问题,典例4 (2018金华东阳二中高三调研)设函数f(x)=sin -2cos2 x+ 1(0),直线y= 与函数f(x)图象相邻两交点的距离为. (1)求的值; (2)在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若点 是函数y =f(x)图象的一个对称中心,且b=3,求ABC面积的最大值.,解析 (1)函数f(x)=sin -2cos2 x+1 =sin xcos -cos xsin -2 +1 = sin x- cos x=
16、 sin . 因为f(x)的最大值为 , 所以f(x)的最小正周期为, 所以=2. (2)由(1)知f(x)= sin ,因为 sin =0B= , 因为cos B= = = ,所以ac=a2+c2-92ac-9,ac9, 故SABC= acsin B= ac . 故ABC面积的最大值为 .,方法技巧 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题 一般转化为一个角的一个三角函数,利用三角函数的有界性求解,或利 用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解.,3-1 (2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin(A+C)=8sin2 . (1)求co
17、s B; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,解析 (1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2 , 故sin B=4(1-cos B), 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去)或cos B= . (2)由cos B= 得sin B= ,故SABC= acsin B= ac. 又SABC=2,则ac= .,由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2 =4. 所以b=2.,3-2 (2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c= a. (1)求sin C
18、的值; (2)若a=7,求ABC的面积.,解析 (1)在ABC中,因为A=60,c= a, 所以由正弦定理得sin C= = = . (2)因为a=7,所以c= 7=3.,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3 , 解得b=8或b=-5(舍). 所以ABC的面积S= bcsin A= 83 =6 .,3-3 在ABC中,已知AB=2AC. (1)若A=60,BC=2,求ABC的面积; (2)若AD是BAC的平分线,且AD=kAC,求k的取值范围.,解析 (1)AC2+AB2-BC2=2ACABcos A,5AC2-4=2AC2, 解得AC= .则AB= . SABC= ABACsin A= = . (2)设CAD=, , 则SABC= ABACsin 2=AC2sin 2, 又SABC= ABADsin + ACADsin ,= ACADsin , 所以AC2sin 2= ACADsin , 所以k= cos .因为 ,所以k .,
