1、一、正、余弦定理,b2c22bccosA a2c22accosB a2b22abcosC,2RsinA 2RsinB2RsinC,sinAsinBsinC,提示：充要条件.,在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？,sinAsinB ab AB.,二、在ABC，已知a,b和A解三角形时，解的情况如下：,1.已知锐角ABC的面积为 ，BC4，CA3，则角C的大小为 .,答案：,解析：由题知， 43sinC3 ，sinC . 又0C ，C .,2在ABC中，若tanA ，C120，BC2 ，则AB_.,解析：因为tanA ，所以sinA ，由正弦定理 ，可得AB 5.,答案：5,3.(201
2、0福建高考)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2c2b2) tanB ac， 则角B的值为 .,解析： cosB，结合已知等式得cosBtanB ，sinB ，B 或 .,答案： 或 ,4在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4bsinA，则cosB_.,解析：因为a4bsinA 4b，由正弦定理知sinB ，cosB,答案：,5.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 .,解析：如图所示，B60，AB1，BD2. 由余弦定理知,AD=,答案：,1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、 无解三种情
3、况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断. 2.三角形中常见的结论 (1)ABC. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.,(4)三角形内的诱导公式 sin(AB)sinC；cos(AB)cosC； tan(AB)tanC；sin cos ； cos sin . (5)在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.,(2009湖北高考)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 a2csinA. (1)确定角C的大小； (2)若c= 且ABC的面积为 ，求ab的值.,首先利用正
4、弦定理把边转化为角，求角C，再利用面积公式可求得ab，结合余弦定理得出结论.,【解】 (1)由 a=2csinA及正弦定理得，ABC是锐角三角形，c= (2)法一： c=， C= ， 由面积公式得即ab6. 由余弦定理得,由变形得(ab)23ab7. 将代入得(ab)225， 故ab5.,法二：前同法一，联立、得消去b并整理得a413a2360， 解得a24或a29.,所以,或,故ab5.,1.(2010苏州调研)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B， C的对边，且a4，C2A，cosA .(1)求sinB；(2)求b的长.,解：(1)A、C为ABC内角，cosA ， sinA .又C2A.
5、 sinCsin2A2sinAcosA ， cosCcos2A2cos2A1 ， sinBsin(AC)sinAcosCsinCcosA .,(2)由 可得： ba 4 5.,依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： 1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；,2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.,【注意】 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不 要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.,在
6、ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状.,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边 边关系或角角关系.,【解】 法一：已知等式可化为 a2sin(AB)sin(AB) b2sin(AB)sin(AB)， 2a2cosAsinB2b2cosBsinA. 由正弦定理，得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA， sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0， sin2Asin2B，由02A2，02B2 得2A2B或2A2B， 即ABC为等腰或直角三角形.,法二：同法一可得2a2cos
7、AsinB2b2sinAcosB， 由正余弦定理，即得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， 即(a2b2)(a2b2c2)0， ab或a2b2c2， ABC为等腰或直角三角形.,a2b,b2a,2.(2010镇江模拟)在ABC中，m(sinA，cosC)，n (cosB，sinA)，mnsinBsinC.(1)求证：ABC为直角三角形；(2)若ABC外接圆半径为1，求ABC周长的取值范围.,解：设ABC内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c， (1)证明m(sinA，cosC)，n(cosB，sinA)， mnsinBsinC， sinAcosBsinAcosCsinBsinC. 由正
8、弦定理得acosBacosCbc. 由余弦定理得a a bc. 整理得(bc)(a2b2c2)0. bc0，a2b2c2，故ABC为直角三角形.,(2)ABC外接圆半径为1，A ，a2， bc2(sinBcosB)2 sin(B ) 0B ， B ，2bc2 . 4abc22 ， 故ABC周长的取值范围是(4,22 ).,在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C= (1)若ABC的面积等于 求a，b； (2)若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积.,【解】 (1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4， 又因为ABC的面积等于 所以 得ab4. 联立方程
9、组,解得,(2)由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA， 即sinBcosA2sinAcosA. 当cosA0时，A ，B ，a ，b . 所以ABC的面积 S absinC ； 当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a， 联立方程组,解得所以ABC的面积综上：ABC的面积为,3.设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB3，bsinA4，(1)求边长a；(2)若ABC的面积S10，求ABC的周长l.,解：(1)依题设得 由正弦定理得 所以 cos2B sin2B (1cos2B)， 即 依题设知a2cos2B9， 所以a225，得a5.,
10、(2)因为S bcsinA2c，所以，由S10得c5. 应用余弦定理得 b 2,故 ABC中的，周长 L=a+b+c=2(5+ ).,在高考试题中，有关解三角形的问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力，以化简、求值或判断三角形形状为主，也与其他知识结合，考 查解决综合问题的能力. 有关解三角形的题型，选择、填空、解答题都有可能出现，一般为容易题和中档题.2009年天津卷就考查了正、余弦定理的应用及三角函数求值.,(2009天津高考)在ABC中，BC= ，AC3， sinC2sinA. (1)求AB的值； (2)求sin(2A )的值.,解 (1)在ABC中，根据正弦定理， 于是AB BC2BC2 . (2)在ABC中，根据余弦定理， 得cosA 于是sinA ,(2分),(5分),(7分),(9分),从而sin2A2sinAcosA ， cos2Acos2Asin2A . (12分) 所以sin(2A )sin2Acos cos2Asin . (14分),本题不难，但学生的得分并不高，主要原因是不理解 条件“sinC2sinA”的作用，正弦定理的一个作用就是 将“角的关系”转化为“边的关系”，所以本题由sinC 2sinA得出 =2是关键.,
