1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 7 课时 正弦定理和余弦定理(对应学生用书(文)、(理)5354 页)考情分析 考点新知正余弦定理及三角形面积公式 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1. (必修 5P10 习题 1.1 第 1(2)题改编) 在ABC 中，若A60，B45，BC3，则 AC_ 2答案：2 3解析：在ABC 中， ， AC 2 .ACsinB BCsinA BCsinBsinA322232 32. (必修 5P24 复习题第 1(2)题改编)在ABC 中，a ，b1，c 2，则3A_答案：60解析：由余弦定理，得 cosA ，b2 c2 a22bc 1
2、 4 3212 12 0A， A60.3. (必修 5P17 习题 1.2 第 6 题改编)在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，若 a2bcosC，则此三角形一定是_三角形答案：等腰解析：因为 a2bcosC，所以由余弦定理得 a2b ，整理得 b2c 2，故此三a2 b2 c22ab角形一定是等腰三角形4. (必修 5P17 习题 6 改编)已知ABC 的三边长分别为 a、b、c，且 a2b 2c 2ab ，则C _答案：60解析：cosC . 0C 180， C60.a2 b2 c22ab ab2ab 125. (必修 5P11 习题 1.1 第 6(1)题改编) 在
3、ABC 中，a3 ，b2 ，cosC ，则2 313ABC 的面积为 _答案：4 3解析： cosC ， sinC ，13 223 SABC absinC 3 2 4 .12 12 2 3 223 31. 正弦定理： 2R(其中 R 为ABC 外接圆的半径 )asinA bsinB csinC2. 余弦定理a2b 2c 22bccosA，b 2a 2c 22accosB；c 2a 2b 22abcosC 或 cosA，cosB ，cosC .b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab3. 三角形中的常见结论(1) ABC .(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：
4、AB ab sinAsinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4) ABC 的面积公式 S ah(h 表示 a 边上的高) ；12 S absinC acsinB bcsinA ；12 12 12 abc4R S r(abc)(r 为内切圆半径) ；12 S ，其中 P (abc)P（P a）（P b）（P c）12备课札记题型 1 正弦定理解三角形例 1 在ABC 中，a ，b ，B45.求角 A、C 和边 c.3 2解：由正弦定理，得 ，即 ，asinA bsinB 3sinA 2sin45 sinA .32 ab， A60或 A120.当 A60时，C180456
5、075，c ；bsinCsinB 6 22当 A120时，C1804512015，c .bsinCsinB 6 22变 式 训 练在ABC 中，(1) 若 a4，B30，C105，则 b_(2) 若 b3，c ，C45，则 a_2(3) 若 AB ，BC ，C30，则A _3 6答案：(1) 2 (2) 无解 (3) 45或 1352解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由B30，C 105，得A 45.由正弦定理，得 b 2 .asinBsinA 4sin30sin45 2(2) 由正弦定理得 sinB 1， 无解bsinCC 32(3) 由正弦定理 ，得 ， sinA .BCsinA AB
6、sinC 6sinA 312 22 BCAB， AC， A 45或 135.题型 2 余弦定理解三角形例 2 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 .cosBcosC b2a c(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b ，a c 4，求ABC 的面积13解：(1) 由余弦定理知：cosB ，a2 c2 b22accosC .将上式代入 ，得a2 b2 c22ab cosBcosC b2a c ，a2 c2 b22ac 2aba2 b2 c2 b2a c整理得 a2c 2b 2ac. cosB .a2 c2 b22ac ac2ac 12 B 为三角形的内角， B .23(2
7、) 将 b ，ac 4，B 代入 b2a 2c 22accosB ，得 b2(ac)132322ac 2accosB， 13162ac ， ac3.(1 12) SABC acsinB .12 334备 选 变 式 （教 师 专 享 ）(2014南京期末)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，已知 c2，C . 3(1) 若ABC 的面积等于 ，求 a、b；3(2) 若 sinCsin(BA)2sin2A，求ABC 的面积解：(1) 由余弦定理及已知条件，得 a2b 2ab4.因为ABC 的面积等于 ，所以 absinC ，得 ab4.312 3联立方程组 解得 a2，b2
8、.a2 b2 ab 4，ab 4， )(2) 由题意得 sin(BA) sin(BA)4sinAcosA，所以 sinBcosA2sinAcosA.当 cosA0 时， A ，所以 B ，所以 a ，b .2 6 433 233当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理得 b2a，联立方程组 解得 a ，b .a2 b2 ab 4，b 2a， ) 233 433所以ABC 的面积 S absinC .12 233题型 3 三角形形状的判定例 3 在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角A 、 B、C 的对边，如果(a 2b 2)sin(AB)(a 2b 2)sin(AB)，判断三
9、角形的形状解：已知等式可化为 a2sin(AB)sin(A B)b2sin(AB)sin(AB)， 2a 2cosAsinB2b 2cosBsinA.由正弦定理得 sin2AcosAsinBsin 2BcosBsinA， sinAsinB(sinAcosAsinBcosB) 0， sin2Asin2B.由 00)，则 b3t，c 7t，在ABC 中，由余弦定理得 cosC a2 b2 c22ab ，所以 C .25t2 9t2 49t225t 3t 12 232. (2013贵州)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，已知b2，B ，C ，则ABC 的面积为_ 6 4答案：
10、13解析： b2，B ，C ， 由正弦定理得 ，解得 c2 .又6 4 bsin6 csin4 2A(BC) ，S ABC bcsinA 22 1.712 12 12 2 6 24 33. (2013盐城期末)在ABC 中，若 9cos2A4cos2B5，则 _BCAC答案：23解析：由 9cos2A4cos2B 5，得 9(12sin 2A)54(12sin 2B)，得9sin2A 4sin2B，即 3sinA2sinB.由正弦定理得 .BCAC sinAsinB 234. 已知ABC 中，B 45，AC4，则ABC 面积的最大值为 _答案：44 2解析：AC 2AB 2BC 22ABBCc
11、os45，即 16c 2a 22accos45，则有 2ac2accos45 16，即 ac 8(2 )81 cos45 16（2 2）2 2Smax acsin45 8(2 )44 .12 24 2 21. (2014南通一模)在ABC 中，a 、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且c3bcosA，tanC .34(1) 求 tanB 的值；(2) 若 c2，求ABC 的面积解：(1) 由正弦定理，得 sinC3sinBcosA，即 sin(AB)3sinBcosA.所以sinAcosBcosAsinB3sinBcosA.从而 sinAcosB4sinBcosA.因为 cosAcosB
12、0，所以 4.tanAtanB又 tanCtan(AB) ，由(1)知， ，解得 tanB .tanA tanBtanAtanB 1 3tanB4tan2B 1 34 12(2) 由(1)，得 sinA ，sinB ，sinC .25 15 35由正弦定理，得 a .csinAsinC22535 453所以ABC 的面积为 acsinB 2 .12 12 453 15 432. (2014苏州期末)在ABC 中，设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且acosC cb.12(1) 求角 A 的大小；(2) 若 a ，b4，求边 c 的大小15解：(1) 用正弦定理，由 acosC cb
13、，12得 sinAcosC sinCsinB.12 sinBsin (AC)sinAcosCcosAsinC， sinCcosAsinC.12 sinC0， cosA .12 0A ， A .3(2) 用余弦定理，得 a2b 2c 22bccosA. a ，b 4，15 1516c 224c .12即 c24c10.则 c2 .33. 在ABC 中，A、B 、C 所对的边长分别是 a、b、c.(1) 若 c2，C ，且ABC 的面积为 ，求 a、b 的值； 3 3(2) 若 sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC 的形状解：(1) c2，C ， 由余弦定理 c2a 2b 22abcos
14、C，得 a2b 2ab4.又3ABC 的面积为 ，3 absinC ，即 ab4.联立方程组12 3 a2 b2 ab 4，ab 4， )解得 a2，b2.(2) 由 sinCsin(BA)sin2A，得 sin(AB)sin(BA)2sinAcosA，即2sinBcosA2sinAcosA， cosA(sinAsinB)0， cosA0 或 sinAsinB 0.当cosA 0 时， 0A， A ，ABC 为直角三角形；当 sinAsinB0 时，得2sinBsinA ，由正弦定理得 ab，即ABC 为等腰三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形4. 在 ABC 中，A、B、C 所对的边分别
15、为 a、b、 c，若 a1，b2，cosC .14求：(1) ABC 的周长；(2) cos(AC)的值解：(1) 因为 c2a 2b 22abcosC144 4.14所以 c2.所以ABC 的周长为 abc1225.(2) 因为 cosC ，所以 sinC .所以 sinA 14 1 cos2C 1 (14)2 154 asinCc 1542.158因为 ac，所以 AC，故 A 为锐角，所以 cosA .1 sin2A1 ( 158)2 78所以 cos(AC) cosAcosCsinAsinC .78 14 158 154 11161. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解请 使 用 课 时 训 练 （B）第 7课 时 （见 活 页 ）.备课札记
