1、1【证法 1】 （课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即ba2142142 ， 整理得 22c.【证法 2】 （邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E 、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. Rt HAE RtEBF, AHE = BEF.D G
2、 CFAHE Babcabcab c abcbabab abacbacbacbacbacbacba2ab abccA BCDE AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2. Rt GDH Rt HAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba. 2214cba. 22c.【证法 3】 （赵爽证明）以 a
3、、b 为直角边 （ba） ，以 c 为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. Rt DAH Rt ABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于2ab. 214c. 2c.【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形
4、的面积等于 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E 、B 三点在一条直线上. Rt EAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c.又 DAE = 90, EBC = 90 ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 21.bac GDACBFEH3PHGFEDCBAabcabcabcabccccb acbaABCEF PQMN 2211cabba. 2cba.【证法 5】 （项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边
5、长分别为 a、b（ba ） ，斜边长为 c. 再做一个边长 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示多边形，使 E、A 、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC ，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90 QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c ， Rt BMQ RtBCA.同理可证
6、RtQNF RtAEF【证法 6】 （梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC的延长线交 DF 于点 P. D、E 、F 在一条直线上, RtGEF Rt EBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90 BED + GEF = 90， BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG = GA = c ， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. Rt ABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CB
7、E = 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a . BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 ,212aSbaSc212, 22cba.【证法 7】 （欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、 c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点cbacbaA BCD EFGHMLK4在一条直线上，连结BF、 CD. 过 C 作 CLDE ，交 AB 于点 M，交 DE 于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB
8、 的面积等于21a，GAD 的面积等于矩形 ADLM的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = 2.同理可证，矩形 MLEB 的面积 = 2b. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 22bac ，即 22ca.【证法 8】 （李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， Rt
9、 HBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba ， HGF = BDC = 90， Rt HGF RtBDC. 即 27S.过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE= QAM ，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM .又 Rt HBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM . 即 58S. 由 Rt ABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM
10、= BAE. AQM + FQM = 90， BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR .又QMF = ARC = 90，QM = AR = a RtQMF RtARC 即 64. 543212SSc， 612S， 8732Sb，又 7， 8， 6，MHQRTG F ED CBAcba876543215 873612SSba= 52341S= 2c，即 c.【证法 9】 （辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 ba
11、22；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 2214c= 2ab. 2c, a.【证法 10】 （杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba ） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC，AF交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90，BCA = 90，AD = A
12、B = c， Rt DHA Rt BCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba . Rt DGT RtBCA ,Rt DHA Rt BCA . Rt DGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90 ，ab2121ab21ab21c2b2aA AD DB BC Cbab abababaccc cbaababbaba98765432
13、 1PQRTHGFEDCBAab cabccc6 DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSc bb8 = a21，95， 82431SaS= 812S . 把代入，得 981212bc= 9 = a. 22ca.【证法 11】 （陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. 做两个边长分别为a、b 的正方形 （ba） ，把它们
14、拼成如图所示形状，使 E、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC，则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EM ED = a = b.又 CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b， Rt AED RtDMC. EAD = MDC ，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. 作 ABDC，CB DA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF=DAE.连结 FB，在 ABF 和 ADE 中，ABCDEFGH Mabcabcac abc12 3456 77 AB =AD = c，AE = AF = b，BAF= DAE， ABF ADE . AFB = AED = 90 ，BF = DE = a. 点 B、F、G、H 在一条直线上 .在 Rt ABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c ，BF = CG = a， Rt ABF RtBCG. 5432SS， 6212Sb， 732Sa， 7651， 6213ba= 7612= 543SS=c 22cba.
