1、勾股定理五种证明方法【证法 1】做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即ba2142142 ， 整理得 22c.【证法 2】 （邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F 、 C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. Rt HAE RtEBF, AHE = BEF. A
2、EH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2. Rt GDH Rt HAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba. 2214cba. 22c.【证法 3】 （梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长babab abacbacbacbacbacbacbaD G CF
3、AHE Babcabcab c abcPHGFEDCBAabcabcabcabcab abccA BCDE为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E 、F 在一条直线上, 且 RtGEF Rt EBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG = GA = c ， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. Rt ABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE =
4、 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,212SbaabSc212, c.【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. Rt EAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DE
5、C = 180 90= 90. DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 21ba. 2211caba. 22cba.【证法 5】 （辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ba22；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 2214cab= 2. 22c, cba.初二（1）ab2121ab21ab21c2b2aA AD DB BC Cbab abababaccc cbaababbaba
