隐函数参数方程表示的函数求导

1、第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和由参数方程 所确定的函数的导数求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:方程,两边对 x 求导，把y,把y看作x的函数。,，求,解 在方程,解得,例1 设,例2 试求,与椭圆,相切且平行于直线,的切线方程。,平行，则 ,，解出,解 由,故,，,椭圆上有两个点,及,处切线与直线,平行，,两条切线方程分。

2、,主讲教师：陈殿友,总课时：,128,第三十三讲,隐函数的导数,高等数学,一、隐函数的导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4 隐函数的导数,第二章,二、隐函数导数的求法,一、隐函数的导数的概念,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 。

3、第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,一、隐函数的导数,二、对数求导法,三、由参数方程所确定的函数的导数,四、相关变化率,五、小节、思考题,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,一般。

4、第四节 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,三、相关变化率,解析式 y=f(x)xD, 这样描述的函数称为显函数.,例 可确定函数,一、隐函数的导数,复习函数的表示法:,1.直接表示,(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:,称为隐函数.,2 间接表示,(1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数,(t是参数),定义:,隐函数的显化,问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?,I. 隐函数的导数,例1求由方程 所确定的隐函数的导数,解: 把方程两边分别对x求导数, 注意 y=y(x),方程右边对x求导得,所以,隐函。

5、湘潭大学数学与计算科学学院,1,1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则,一、求导法则,二、典型例题,三、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,2,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,一、求导法则,湘潭大学数学与计算科学学院,3,由复合函数及反函数的求导法则得,湘潭大学数学与计算科学学院,4,一阶导数,参数方程,利用同样方法可以得到,对 的二阶导数公式：,湘潭大学数学与计算科学学院,5,湘潭大学数学与计算科学学院,6,例1,解,二、典型例题,湘潭大学数学与计算科学学院,7,所求切线方程为,湘潭大学数学与计算科学学院,8,例2 设由。

6、1,一、隐函数的微分法,二、由参数方程所确定的函数的微分法,第3节 隐函数及 参数方程的微分法,下一页,上一页,返回,2,一、隐函数的微分法,定义,隐函数的显化：,问题: 隐函数不易显化或不能显化时如何求导和求微分?,隐函数微分法：,用微分形式不变性直接对方程两边求微分.,下一页,上一页,返回,3,例1,解,由此解得,下一页,上一页,返回,4,例2,解,由此解得,下一页,上一页,返回,5,例3,解,切线方程为,下一页,上一页,返回,6,对数微分法,观察函数,方法：,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数微分法求出导数或微分.,-对数微分法,适用范围：,下一页,上。

7、1,2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,第二章 导数与微分,隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率,小结 思考题 作业,2,定义,1. 隐函数的定义,所确定的函数,一、隐函数的导数,称为,隐函数(implicit function).,的形式称为,显函数.,隐函数的,可确定显函数,例,开普勒方程,的隐函数客观存在,但无法将,表达成,的显式,表达式.,显化.,3,2. 隐函数求导法,隐函数求导法则,用复合函数求导法则,并注意到其中,将方程两边对x求导.,变量y是x的函数.,隐函数不易显化或不能显化,？,如何求导,4,例,解,则得恒等式,代入方程。

8、第四节 隐函数与参数方程确定 函数的求导法则,一、隐函数的求导法则 二、对数求导法 三、由参数方程所确定函数的导数 四、相关变化率 五、小结,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,例 2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,说明：对数求导法将幂指函数。

9、参数方程表示的函数的求导、高阶导数,一、由参数方程表示的函数的 求导法则二、高阶导数,一、参数方程表示的函数的求导法则,若将由参数方程 所确定的函数看成复合函数： ，则由复合函数的求导法则，有,例21 设,解,例22 设,解,例23 求曲线 在t=e处的切线方程和法线方程.,解,所以切线斜率,当t=e时，x=e，y=e.,法线斜率,故切线方程为,法线方程为,在变速直线运动中,位移函数s=s(t)对时间t的导数为速度函数v=v(t)，即 ，同样可以得到速度函数v=v(t)对时间t的导数为加速度a=a(t)，即 .从而可以得到,这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为 或 。

10、1,第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数,一、隐函数的求导法则,这种对应关系可以有多种表示方式.,1、隐函数的定义,常见的表示方式为,上述函数称为显式函数.,体现.,可以确定函数,2,定义,隐函数. 因为,注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的.,一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.,例如,3,部分隐函数可以显化，即从方程中解出 y(x) 的表达式.,但许多隐函数不易或者不能显化.,例如：,问题: 如何求隐函数的导数？,（这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且,可导所需的条件，下学期学习.）,情形1: 隐函数可以显化,显化后求。

11、1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第十三讲,2,第四节,一、隐函数的导数,三、由参数方程确定的函数的导数,隐函数与参数方程求导,第二章,二、对数求导法,3,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,此函数为隐函数 .,则称,如,4,两边对 x 求导,(含导数 的方程),隐函数求导方法:,例1 设,是由方程,所确定的，,求,解：方程两边同时对 x 求导。,5,例2 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数。

12、隐函数的导数,定义,称为隐函数.,隐函数的显化,存在问题,隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,求由下列方程所确定的函数的导数.,解,得,整理得,解得,例2,解,解得,所以,由原方程知,例3,解,得,解得,例3,解,例3,解,于是,即,例4,解,设,代入,得,代入,例4,解,设,代入,得,代入,例4,解,设,代入,得,代入,得,例5,求由下列方程所确定的函数的二阶导数.,解,例5,求由下列方程所确定的函数的二阶导数.,解,例5,求由下列方程所确定的函数的二阶导数.,解,对数求导法,问题的提出,函数,的求导问题.,对数求导法,先在方程两边取对数,然后利。

13、Oct.21 Mon. Review,导数四则运算,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,反函数求导,复合函数求导,或,高阶导数,常用高阶导数公式,3 隐函数和参数方程求导法,隐函数求导 参数方程求导 导数的简单应用,一. 隐函数求导,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例,注意：,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,对数求导法则：从显函数求导数比较复杂。

14、1,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,隐函数和参数方程求导,三、相关变化率,2,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),3,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例1. 求由方程,4,例2,解:,解得,5,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例3. 求椭圆,6,的导数 .,解:。

15、一、隐函数求导法,即,即,从而,得,例2.,解：,例3.,解：,二、参数方程所表示函数的求导法,平面曲线参数方程的一般形式,例4.,则,解：,例5.,例6. P156，例5.,y(t),h,r,R,函数的导数是函数的变化率应用导数解决实际问题,即,隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.,五、小结,。

16、,应 用 高 等 数 学（06级融资理财1班）,主讲：彭如海教授岭 南 学 院江 苏 科 技 大 学,第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数,一、授课时间：20074173、4节 二、教学目的要求： 在复习巩固上节显函数 导数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与参数方程确定的函数的求导方法。 三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的求导；教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。 四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。 五、教学手段：多媒体适当板书。,继续【22】课堂练习,课堂练习： 习题22 ）2（14）,复习：导数公式与求导法则。