线性规划问题Linear Programming

1、含参数的线性规划问题 专题讲座,深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作,平面区域与目标函数,目标函数的几何意义,复习回顾,线性规划,由区域求参数,【练习1】(2010浙江)若实数x，y满足不等式组,且x+y的最大值为9，则实数m=( ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2,线性规划,由目标函数几何意义求参数,线性规划,由目标函数几何意义求参数,线性规划,【例3】(2009山东)设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12，则 的最 小值为( ) (A) (B) (C) (D)4,线性规划,线性规划,【练习3】(2010安徽)设x,y满足约束条件,若目标函数z=abx+y(a0,b0)。

2、第五章线性规划问题的Lingo求解,5.1 一般线性规划模型的建立与求解,5.1.1 基本理论,线性规划问题的标准形式是等约束的，用矩阵表示如下：,一般线性规划问题都可以通过引入松弛变量与剩余变量的方法化成标准形式。,线性规划模型的一般性质：(1)比例性，每个决策变量对目标函数以及右端项的贡献与该决策变量的取值成正比。(2)可加性，每个决策变量对目标函数以及右端项的贡献与其他决策变量的取值无关。(3)连续性，每个决策变量的取值都是连续的。比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性质，连续性则允许得到决策变量。

3、非线性目标函数的最值问题,高二理科数学组,2015年10月15日,非线性目标函数的最值问题,学习目标： 1. 通过实例，能用平面区域表示二元一次不等式组。 2. 借助斜率公式及距离公式，类比体会非线性目标函数所表示的几何意义。 3. 通过启发、引导、小组讨论探究出目标函数的最优解。,学习重点：借助斜率公式及距离公式，类比体会非线性目标函数所表示的几何意义。探究出利用图解法求非线性目标函数的最优解。,学习难点：通过启发、引导、小组讨论探究出目标函数的最优解。,学习方法：探究法,学习过程：,一、复习回顾,求线性目标函数的最值的步。

4、2、线性规划问题的对偶问题,例21胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？,2.1 对偶问题,数学模型max g= 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 (2.1)2x1 + x2 50x1,x2 0,假如有一个企业家有一批等待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。因此。

5、第七章 最优化计算方法,一、实验目的：,第一节 线性方程组的应用,1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念 ；,2、掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法。,二、实验原理和方法：,在生活实践中，很多重要的实际问题都是线性的（至少能 够用线性函数很好的近似表示），所以我们一般把这些问 题化为线性的目标函数和约束条件进行分析，通常将目标 函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划 。,它的一般形式是：,也可以用矩阵形式来表示：,线性规划的可行解是满足约束条件的解；线性规划的最优解是使目标函数达到最优的可行解。

6、第七章最优化计算方法 一 实验目的 第一节线性方程组的应用 1 了解线性规划问题及可行解 最优解的概念 2 掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法 二 实验原理和方法 在生活实践中 很多重要的实际问题都是线性的 至少能够用线性函数。

7、有界变量线性规划问题 1 问题背景 实际运用中的线性规划问题 其决策变量具有上下界限的限制 一般形式 2 解决思路 思路1 计算量与存储量增加 2 解决思路 思路1 计算量与存储量增加 思路2 从 二者基可行解考虑 2 新课 思路2 从 二者基可行解考虑 2 新课 有界变量线形规划问题 基 基阵 基变量 非基变量 第一类非基变量 第二类非基变量 基解 基可行解 可行基 可行剖分 有界变量线形规划问。

8、2.线性规划的对偶问题 2.1 对偶问题的提出 2.2 原问题与对偶问题 2.3 对偶问题的性质 2.4 影子价格 2.5 对偶单纯形法 2.6 灵敏度分析 2.6.1 Cj 的变化 2.6.2 bi 的变化 2.6.3 增加一个变量 2.6.4 aij 的变化 2.6.5 增加一个约束条件,2.1 对偶问题的提出,设甲企业有m种资源用于生产n种不同产品，各种资源的拥有量分别为bi(i=1,2, ,m)，又生产每单位的第j 种产品(j=1,2, ,n)消耗第i 种资源aij单位，第j 种产品的单位产值为cj元。若用xj代表第j 种产品的产量，则使该企业获得最大产值的线性规划模型应表示为：,现假定乙企业欲收购甲企业拥有。

9、简单的线性规划问题,有关概念,(1)由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y 的约束条件。,(2)关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。,(3)欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。,(4)满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。,(5)使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。,归纳画法：,1、画出二元一次不等式所对应的。

10、1-4.线性规划问题的解,一.解的基本概念对于标准型LP问题,可行解：满足约束条件（1-13）和（1-14）的解称为可行解。基：A中任何一组m个线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基（basis）,与中的这些列向量对应的变量称为基变量（basic variable）,最优解：若基本可行解又是最优解（也称基本最优解），这个基就称为最优基（optimal basis）。,基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（1-13）的解，称为基对应的基本解（basic solution）。,基本可行解：满足（1-14）的基本解称为基本可行解（basic feasible solution）；基本可行。

11、第五章 利用EXCEL求解线性规划问题,建立线性规划问题的模型 利用EXCEL求解线性规划问题 分析运算结果（敏感性分析）,目的：,一、EXCEL 基本知识,1、命名工作表,功能： 存储信息、进行计算、排序数据、用图或表的形式显示数据、规划求解、财会分析、概率与统计分析等等,（1）激活工作表1，单击sheet 1 标签,（2）命名工作表或 （3）Format / sheet Rename 显示Rename sheet 对话框,（4）键入工作表名,2、工作表,4、进行计算,Excel-2003 256列 65535 行 Excel-2007 16384列 1048576行,3、向单元格中输入数据,常数：不能改变的文字或其它数据。

12、线性规划,1、线性规划模型及标准型如何写出线性规划模型 一般形式转化为标准型 2、线性规划的图解法如何用图解法求解线性规划问题 3、线性规划解的有关概念基变量 非基变量 基本解 基本可行解 最优解 4、单纯形法最大判别原则 最小比值原则 换入换出变量 高斯消元法 最优解的判断等,线性规划的定义和数学描述1.定义 对于求取一组变量xj (j=1,2,n),使之满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的最优化问题成为线性规划问题，简称线性规划。共同特征：（1）用一组未知变量表示要求的方案，即决策变量（非负条件。

13、简单的线性规划问题,授课教师：市八中学 黄达兴,一、引例:,元旦联欢会，需要甲、乙两种不同的气球来布置班级，要求甲、乙两种气球的比例2:3，且它们的和不小于30只，不多于60只。若甲种气球每只0.5元，乙种气球每只0.3元，问应买甲、乙两种气球各多少只，才能使花费最省？,设甲种气球需 只,乙种气球需 只,总的费用 .,由题意得,元,满足的条件为：,解:,目标函数 （线性目标函数）,线性约 束条件,线性规划问题,为使联欢会上的气氛更有节日感，有人提出再做一个“中国结”，经研究发现做“中国结”需要甲、乙两种彩绳，并需将其截成A、B、C三。

14、18.3.1用表格法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式线性规划中的有关概念名 称 意 义线性约束条件线性约束条件线性目标函数线性目标函数线性规划问题线性规划问题可行解可行解可行域可行域最优解最优解关于决策变量的一组一次不等式关于决策变量的一组一次不等式 (或方程或方程 )欲求得最大值或最小值的关于决策变量的欲求得最大值或最小值的关于决策变量的一次函数一次函数满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解在线性约束条件下求线性目标函数最大值在线性约束条件下求线性目标函数最大值或最小值的问题或最小值的问题约束条件所。

15、影子价格的经济含义(1)影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。,1.线性规划对偶问题,（2） 影子价格表明资源增加对总效益产生的影响。,影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就应该从影子。

16、例一、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限、收益如下表所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50的税率纳税，此外还有以下限制： 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元； 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)； 所购证券的平均到期年限不超过5年。,试问：若该经理有1000万元资金，应如何投资？ 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？ 在1000万元资。

17、线性规划问题,第一节 线性规划问题的数学模型 （一）引言线性规划是运筹学的重要分支之一，也是研究较早、发展较快、应用较广而且比较成熟的一个分支。自1947年线性规划被成功的运用于工业、交通、农业和军事等各个领域后，现在它已成为管理科学的重要基础和手段之一。随着计算机的普及，它的适应领域越来越广泛。线性规划研究的问题主要有两类：一是一项任务确定后，如何统筹安排，尽量作到用最少的人力物力资源去完成这一任务。二是已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用他们，使得完成任务最多。其实这两类问题是一个问题的两个方。

18、1,線性規劃與整數規劃模式 Linear and Integer Programming Models,Chapter 2,2,線性規劃模型(Linear Programming model)是在一組線性的限制式(a set of linear constraints)之下，尋找極大化(maximize)或極小化(minimize)一個特定的目標函數(objective function) 線性規劃模型由下列三個部分組成: 一組決策變數 (A set of decision variables) 一個特定的目標函數(An objective function) 一組線性的限制式 (A set of constraints),2.1 線性規劃簡介 Introduction to Linear Programming,3,線性規劃簡介 Introduction to Linear Programm。

19、线性规 Linear Programming,Ludong University,2019/6/15,Ludong University,2,线性规划,线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 初始可行解 对偶理论 灵敏度分析 计算软件 案例分析,两阶段法大M法说明,2019/6/15,Ludong University,3,两阶段法,基本思想第一阶段：通过求解辅助问题的最优基可行解，得到原问题的初始基可行解。第二阶段：求原问题的最优解。算例,2019/6/15,Ludong University,4,辅助问题,（辅助问题）,2019/6/15,Ludong University,5,原问题与辅助问题的关系,2019/6/15,Ludong University,6,问题,2019/6/15,Ludong 。

20、,简单的线性规划问题 Linear Programming,我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.,把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.,满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是,二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.,(1)在数轴上表示方程2x6=0的解,5,0,3,(2)在数轴上表示不等式2x60的解集,5,0,3,(3)在数轴上表示不等式x22x80的解集,0,。