1、第七章最优化计算方法 一 实验目的 第一节线性方程组的应用 1 了解线性规划问题及可行解 最优解的概念 2 掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法 二 实验原理和方法 在生活实践中 很多重要的实际问题都是线性的 至少能够用线性函数很好的近似表示 所以我们一般把这些问题化为线性的目标函数和约束条件进行分析 通常将目标函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划 它的一般形式是 也可以用矩阵形式来表示 线性规划的可行解是满足约束条件的解 线性规划的最优解是使目标函数达到最优的可行解 线性规划关于解的情况可以是 1 无可行解 即不存在满足约束条件的解 2 有唯一最优解 即在可行解中有唯一
2、的最有解 4 有可行解 但由于目标函数值无界而无最优解 3 有无穷最优解 即在可行解中有无穷个解都可使目标函数达到最优 一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进的单纯形法 这类方法的基本思路是先求得一个可行解 检验是否为最优解 若不是 可用迭代的方法找到另一个更优的可行解 经过有限次迭代后 可以找到可行解中的最优解或者判定无最优解 三 内容与步骤 在Matlab优化工具箱中 linprog函数是使用单纯形法求解下述线性规划问题的函数 它的命令格式为 其中 A为约束条件矩阵 b c分别为目标函数的系数向量和约束条件中最右边的数值向量 也可设置解向量的上界vlb和下界vub 即解向量必须满足vl
3、b x vub 还可预先设置初始解向量x0 如没有不等式 而只有等式时 A b 输出的结果 x表示最优解向量 fval表示最优值 例1 求解线性规划问题 解 考虑到linprog函数只解决形如的线性规划 所以先要将线性规划变为如下形式 然后建立M文件如下 c 3 1 1 A 1 21 4 1 2 b 11 3 aeq 20 1 beq 1 vlb 0 0 0 x fval linprog c A b aeq beq vlb Matlab程序 ch701 m 以ch701作为文件名保存此M文件后 在命令窗口输入ch701后即可得到结果 x 4 00001 00009 0000 同时返回fval
4、2 对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2 此时x1 4 x2 1 x3 9 第二节无约束规划计算方法 一 实验目的 1 了解无约束规划问题的求解原理与方法 2 会用Matlab软件求解无约束规划问题 二 实验原理和方法 无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类 一类是一元函数的一维搜索法 如黄金分割法 插值法等 另一类是求解多元函数的下降迭代法 迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步 三 实验内容与步骤 在Matlab软件中 求解无约束规划的常用命令是 x fminunc fun x0 其中 fun函数应预先定义到M文件中 并设置初始解向量为x0 例2 求解 取 解 首先建
5、立函数文件fun702 m 以fun702为文件名保存此函数文件 在命令窗口输入 x0 2 4 x fminunc fun702 x0 结果显示 f 1 0000 x 1 00001 0000 即极小值为 1 是x1 1 x2 1时取得 Matlab程序 ch702 m 例3 解非线性方程组 解 解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题 然后建立函数文件fun703 m 在命令窗口输入 x0 0 0 x fminunc fun703 x0 结果显示 f 5 2979e 011x 1 06730 1392 则非线性方程组的解为x1 1 0673 x2 0 1392 Matlab程序 ch7
6、03 m 第三节约束非线性规划计算方法 一 实验目的 1 了解约束非线性规划问题的求解原理与方法 2 会用Matlab软件求解约束非线性规划问题 二 实验原理和方法 对于约束非线性规划 随着目标函数和约束条件的不同 解法也不同 一般来说 有两类方法 1 将约束问题化为无约束问题的求解方法 2 用线性规划来逼近非线性规划 三 实验内容与步骤 约束非线性规划的一般形式为 其中 f x 为多元实值函数 g x 为向量函数 并且f x g x 中至少有一个函数是非线性函数的 否则成为线性规划问题 x fmincon fun x0 A b x fmincon fun x0 A b Aeq beq x f
7、mincon fun x0 A b Aeq beq lb ub x fmincon fun x0 A b Aeq beq lb ub nonlcon 在Matlab优化工具箱中 fmincon函数是用SQP算法来解决一般的约束非线性规划的函数 它的命令格式为 例4 求解约束非线性规划 初值为 1 1 解 首先建立一个m文件fun7041 mfunctiony fun7041 x y exp x 1 x 2 2 3 exp x 1 x 2 2 存储为fun7041 m 首先将问题转化为matlab要求的格式 即求出fun A b Aeq Beq X0 Lb Ub 然后建立一个m文件fun7042
8、 mfunction c cep fun7042 x c c为非线性不等式 且为c 0cep exp x 1 x 2 2 3 cep为非线性等式然后存储为fun7042 m 最后在命令窗口中输入 A b Aeq Beq Lb Ub x f fmincon fun7041 1 1 fun7042 f 因题目中有非线性约束条件 所以建立非线性约束m 文件 Matlab程序 ch704 m 结果为 x 0 88520 7592f 6 2043e 016ans 6 2043e 016 最后的结果为 6 2043e 016 例5 求解约束非线性规划 解 首先建立一个m文件fun705 mfunctiony fun705 x y x 1 1 2 x 2 2 2 x 3 3 2 x 4 4 2 存储为fun705 m文件 x0 1 1 1 1 A 1111 3321 B 5 10 Aeq Beq Lb 0 0 0 0 x g fmincon fun705 x0 A B Aeq Beq Lb 答案为 x 0 00000 66671 66652 6668g 6 3333 Matlab程序 ch705 m
