实验四 常微分方程初值问题数值解法

1、第九章 常微分方程初值问题的数值解法,科学研究和工程技术中的问题往往归结为求某个常微分方程的定解问题.常微分方程的理论指出，很多方程的定解虽然存在，但可能十分复杂难于计算，也可能不能用简单的初等函数表示,因此常求其能满足精度要求的近似解.,1 引 言,常微分方程的数值解法常用来求近似解，由于它提供的算法能通过计算机便捷地实现，因此近年来得到迅速的发展和广泛的应用。常微分方程数值解法的特点是：对求解区间进行剖分，然后把微分方程离散成在节点上的近似公式或近似方程，最后结合定解条件求出近似解.因此数值解法得到的。

2、第六章 常微分方程初值问题的数值解法,6.1 欧拉方法 6.2 计算公式的误差分析 6.3 龙格库塔方法 6.4 向一阶方程组与高阶方程的推广,问题的提出,数值求解方法,6.1 欧拉方法,6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式,算法：,选择不同的数值积分公式来求近似值就得到初值问题的各种数值解法,1.欧拉公式,2.后退欧拉公式,这称为后退欧拉公式,后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。,例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题,立表,(见表6-1（书121页）),6.1.2 梯形公式与改进欧拉公式,3.梯形公式,-梯形公式也是隐式单步法公式,用梯。

3、数值分析课程实验报告实验名称 常微分方程初值问题的数值解 班级 姓名 学号 序号教师 地点 数学实验中心 评分一、 实验目的 掌握常微分方程数值解的常用算法； 培养编程与上机调试能力。二、 用文字或图表记录实验过程和结果5.3.1 改进欧拉法的算法对给定的 ，用如下改进的欧拉公式(,)fxy1 1(,) 0,12(,)2nnnyhfxnyfxy 5.3.2 四阶龙格-库塔法的算法对上述给定的 ，用如下 四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题，(,)fxy112342 13 243)6(,) 0,12)(,)nnnnhkkkfxynkfxhyk 三、 练习与思考题分析解答1、编程求解常微分方程初值问题a) 2,0.1.40。

4、1,第8章 常微分方程初值问题的数值解法,基础知识 欧拉方法 龙格库塔方法,2,8.1 基础知识,一、问题的提出,很多实际问题都需要求解常微分方程。例如单摆问题。,常微分方程分为线性常微分方程和非线性常微分方程，又可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。通过变量的替换，可以把高阶常微分方程转化为一阶常微分方程再求解。对于一阶常微分方程组，可以写成向量形式的单个方程，求解方法与一阶常微分方程相似。因此本章只讨论一阶常微分方程的初值问题：,目前在常微分方程理论中，只能求出某些特殊类型常微分方程的解析解，对大部分常微分。

5、1,第8章 常微分方程初值问题的数值解法,基础知识欧拉方法龙格库塔方法,2,8.1 基础知识,一、问题的提出,很多实际问题都需要求解常微分方程。例如单摆问题。,常微分方程分为线性常微分方程和非线性常微分方程，又可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。通过变量的替换，可以把高阶常微分方程转化为一阶常微分方程再求解。对于一阶常微分方程组，可以写成向量形式的单个方程，求解方法与一阶常微分方程相似。因此本章只讨论一阶常微分方程的初值问题：,目前在常微分方程理论中，只能求出某些特殊类型常微分方程的解析解，对大部分常微分方。

6、常微分方程初值问题数值解法,9.1 引 言,科学技术中很多问题都可用微分方程的定解问题来描述，主要有初值问题与边值问题两大类，本章只考虑初值问题. 常微分方程初值问题中最简单的例子是人口模型，设某特定区域在t0时刻人口为y(t0)=y0已知的，该区域的人口自然增长率为，人口增长与人口总数成正比，所以t时刻的人口总数y(t)满足以下微分方程,很多物理系统与时间有关，从卫星运行轨道到单摆运动，从化学反应到物种竞争都是随时间的延续而不断变化的. 解常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解就是确定满足给定方程的可微函数y。

7、第5章常微分方程数值解法 5 1引言包含自变量 未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 在微分方程中 自变量的个数只有一个 称为常微分方程 自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶。

8、第7章 常微分方程初值问题的数值解法,7.1 引言 7.2 尤拉方法 7.3 龙格库塔法 7.4 收敛性和稳定性,棺杭铬援扇栗胶勿占迄痛峨爆瞅驴奄勿狐敢拴路毗户迹岗胜芝遥劳憨悉示第7章_常微分方程初值问题的数值解法第7章_常微分方程初值问题的数值解法,7.1 引 言,ODE的求解：分离变量法、齐次方程的求解、可降阶高阶微分方程求解特殊类型的微分方程。微分方程的近似解法： 近似解析法：逐次逼近法、级数解法 数值解法：求离散点上的近似值。定解问题：微分方程定解条件(初值条件、边界条件) 分别称为初值问题和边值问题。,祈滴半汕任孟吮命效神熟慑。

9、第六章 常微分方程初值问题的数值解法,6.1 欧拉方法 6.2 计算公式的误差分析 6.3 龙格库塔方法 6.4 向一阶方程组与高阶方程的推广,问题：,数值求解方法：,6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式,6.1 欧拉方法,这称为欧拉公式,例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题,后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。,这称为后退欧拉公式,6.1.2 梯形公式与改进欧拉公式,欧拉公式与后退欧拉公式也可采用积分近似的方法推出,梯形公式也是隐式单步法公式,用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即采用下式,这。

10、浙江大学城市学院实验报告课程名称 数值计算方法 实验项目名称 常微分方程初值问题的数值解法 实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2015/12/16 一. 实验目的和要求1 用 Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格库塔方法；2 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。二. 实验内容和原理编程题 2-1 要求写出 Matlab 源程序(m 文件) ，并有适当的注释语句；分析应用题 2-2，2-3，2-4，2-5 要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。2-1 编程编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微。

11、第9章 常微分方程初值问题数值解法,9.1 引言 9.2 简单的数值方法与基本概念 9.3 龙格-库塔方法 9.4 单步法的收敛性与稳定性 9.5 线性多步法 9.6 方程组和高阶方程,9.1 引 言,科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题. 这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一阶方程的初值问题,我们知道，只有f(x, y)适当光滑譬如关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件,理论上就可以保证初值问题的解yf(x)存在并且唯一.,虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解。

12、常微分方程数值解,考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,数值解,(10-1),一、初值问题的数值解,求解(10-1)最基本的方法是单步法,单步法:从初值 开始,依次求出 ,后一步的值 只依靠。

13、第九章 常微分方程初值问题的数值解法第一部分 内容提要一、数值解的一般概念常微分方程初值问题 的数值解是指通过一定的近似方法0(),)yxfy得出准确解 在一列离散点 上的近似值()yx12,nx 。数值解的特征是步进式，即 在 点的近似值012,ny ()y1n是由 等若干点处的近似值 的信息给出的递推公式。n1x 1,n若 依赖于前面 步的值 ，则称为 步法； 称为单步1yk1,nky k法。利用 在 的精确解 借助某种()x11,nnkx 11(),()nnkyxyx算法计算出 ，则称 为该方法的局部截断误差。如果一个算1y()y法的局部截断误差是 ，则称该方法是 阶的；而利用数值解1pO。

14、,第七章 常微分方程初值问题的数值解法,8.1 Euler法与梯形法,基本要求: 1.熟悉Enter显格式,梯形法及Enter预校法; 2.熟悉局部截断误差及绝对稳定性.作业:,Taylor展开法与Runge-Kutta 方法,8.2 高阶单步法的构造,基本要求:1.熟悉用Taylor展开式建立高阶单步法; 2.熟悉二阶中点公式; 3.会编程在计算机上使用变步长的R-K方法.作业:,8.3 线性多步法,(819）,（819）每步只需计算一次f值，然后进行线性运算计算很简单，单恰当选取参数 可提高误差阶。出发值计算：多步法不能自动开始计算，一般先由同阶R-K单步法求出所需初值。二、线性多步法的构。

15、1实验八 常微分方程初值问题数值解法报告实验八 常微分方程初值问题数值解法一、基本题科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进 Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：（1） ?4x?xy?y?y?y?0?0 ? 0?x?2分别取 h=0.1,0.2,0.4 时数值解。初值问题的精确解 y?（2） 。2?y?x2?y2?y?1?0 ?1?x?0用 r=3 的 Adams 显式和预 - 校式求解取步长 h=0.1，用四阶标准 R-K 方法求值。（3）0?x?1用改进 Euler 法或四阶标准 R-K 方法求解取步长?y2?y1?y1?y2?y?y3?3?0?1y1y2?0?0y3?0?15),0.01,计算 y(0.0y(y0.1 数。

16、常微分方程初值问题的数值解法,第7章,引言,在实际问题中，常需要求解微分方程(如发电机转子运动方程)。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。,常微分方程：,-(1),-(2),一阶常微分方程,-(3),(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题,-(4),另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:,本课程主要研究问题一阶常微分方程(1)的数值解法,我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件,定理 只要 f (x, y) 连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a,。

17、1 引 言,第9章 常微分方程初值问题数值解法,2 简单的数值方法与基本概念,一、欧拉法和后退欧拉法,clear; y=1, x=0, %初始化 for n=1:10 y=1.1*y-0.2*x/y, x=x+0.1, end,y = 1 x = 0 y = 1.1000 x = 0.1000 y = 1.1918 x = 0.2000 y = 1.2774 x = 0.3000 y = 1.3582 x = 0.4000 y = 1.4351 x = 0.5000 y = 1.5090 x = 0.6000 y = 1.5803 x = 0.7000 y = 1.6498 x = 0.8000 y = 1.7178 x = 0.9000 y = 1.7848 x = 1.0000,二、梯形方法,三、单步法的局部截断误差与阶,四、改进的欧拉公式(预测校正法),clear x=0,yn=1 %初始化 for n=1:10 yp=y。

18、第9章 常微分方程初值问题数值解法,9.1 引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程.。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数 都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。,在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出。

19、佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 常微分方程问题初值问题数值解法 专业班级 姓名 学号 指导教师 成 绩 日 期 一. 一、实验目的1、理解如何在计算机上实现用 Euler 法、改进 Euler 法、Runge Kutta 算法求一阶常微分方程初值问题 1)(,),yabaxfx的数值解。2、利用图形直观分析近似解和准确解之间的误差。3、 学会 Matlab 提供的 ode45 函数求解微分方程初值问题。二、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容；（2） 写出相应的 Matlab 程序；（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)；（4） 分析和讨论实验结果。