1、数值分析课程实验报告实验名称 常微分方程初值问题的数值解 班级 姓名 学号 序号教师 地点 数学实验中心 评分一、 实验目的 掌握常微分方程数值解的常用算法； 培养编程与上机调试能力。二、 用文字或图表记录实验过程和结果5.3.1 改进欧拉法的算法对给定的 ，用如下改进的欧拉公式(,)fxy1 1(,) 0,12(,)2nnnyhfxnyfxy 5.3.2 四阶龙格-库塔法的算法对上述给定的 ，用如下 四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题，(,)fxy112342 13 243)6(,) 0,12)(,)nnnnhkkkfxynkfxhyk 三、 练习与思考题分析解答1、编程求解常微分方程初
2、值问题a) 2,0.1.40.1()dyxhxb) /26,.(.0)1yxdx（1） 编程实现改进欧拉法和四阶龙格-库塔法，并求解常微分方程初值问题 a)和 b)，写出数值结果。（2）分析改进的欧拉公式和四阶龙格-库塔法的求解结果，并从结果分析其收敛性。问题 a）的真解为 ，问题 b）的真解为 。1()yx23yx解：用改进欧拉法和龙格库塔法求解微分方程 2,0.1.40.1()dyxhx求解结果如下：方法 0 0.1 0.2 0.3 0.4改进欧拉法 1.0000 1.111 1.2520 1.4330 1.6762四库塔法阶龙格1.0000 1.1111 1.2500 1.4286 1.
3、6667精确值 1.0000 1.1111 1.2500 1.4286 1.4286用改进欧拉法和龙格库塔法求解微分方程 /2.0.6,0.1(.)1dyxxh求解结果如下：方法 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6改进欧拉法1.0000 1.1875 1.3565 1.5134 1.6614 1.8029 1.8029四阶龙格库塔1.0000 1.1874 1.3565 1.5133 1.6613 1.8028 1.9391精确值 1.0000 1.1874 1.3565 1.5133 1.6613 1.8028 1.9391计算结果表明，经典四级龙格库塔法优于改进欧拉法，
4、另外，通过与真值比较可知，欧拉法具有二阶收敛性，四阶龙格-库塔法具有四阶收敛性。2、分别取步长 ，用显式欧拉法和隐式欧拉法求解初值问题0.1,5.,01h10)(,5y由结果分析算法的稳定性。(解析解为 )0()xye解：当取步长 ，计算得到以下结果0.1hix准确值 显示欧拉法 隐式欧拉法0 100.0000 100 100.00000.1 0.6738 -400 16.66670.2 0.0045 1600 2.77780.3 0.0000 -6400 0.46300.4 0.0000 25600 0.07720.5 0.0000 -102400 0.01290.6 0.0000 4096
5、00 0.002107 0.0000 -1638400 0.00040.8 0.0000 6553600 0.00010.9 0.0000 -26214400 0.00001.0 0.0000 104857600 0.0000当取步长为 ，计算结果如下：0.5hix准确值 显示欧拉法 隐式欧拉法0 100.0000 100 10.00000.05 8.2085 -150 28.57140.1 0.6738 225 8.16330.15 0.0553 -337.5 2.33240.2 0.0045 506.2 0.66640.25 0.0004 -759.4 0.19040.3 0.0000 1
6、13.91 0.0544035 0.0000 -17086 0.01550.4 0.0000 2562.9 0.00440.45 0.0000 -3844.3 0.00130.5 0.0000 5776.5 0.0004当取步长为 ，计算结果如下：0.1hix准确值 显示欧拉法 隐式欧拉法0.0 100 100 1000.01 60.6531 50 66.66670.02 36.7879 25 44.44450.03 22.3130 12.5 29.62960.04 13.5335 6.25 19.75310.05 8.2085 3.125 13.16870.06 4.9787 1.5625
7、8.7791当取步长为 ，计算结果如下：0.1hix准确值 显示欧拉法 隐式欧拉法0.0 100 100 1000.005 77.8801 75 800.01 60.6531 56.25 640.015 47.2367 42.1875 51.20.02 36.7879 42.1875 40.960.025 28.6505 23.7305 32.7680.03 22.3130 17.79797 26.2144由结果可知，当 时，显式欧拉法不太稳定，而隐式欧拉法发散；05.h当 时，显式欧拉法和隐式欧拉法都是稳定的。01.h3、选择某常微分方程初值问题的数值方法计算 的近似值，并保证有四位有效数字
8、。dt10sin, ,tdxysin1)0(t 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5y 1.0999 1.1996 1.2985 1.3965 1.4931t 0.6 0.7 0.8 0.9 1y 1.5881 1.6812 1.7721 1.8605 1.9461故近似值为：1.58634、画出 RKF 方法的算法流程图，并编程实现该算法，求解 5.4 节的常微分方程初值问题开始输入 Nhyx,0n=1 )32(6),( ),2,(),( 41013014 002 KKhyhyxfK hyxfxf 输出 1,yxN=n?Yn=n+1, 1010,yxN结束四、 本次实验的重点难点分析重点：在理论理解显示欧拉法、隐式欧拉法、改进的欧拉法；通过编程实现改进欧拉法和四阶龙格-库塔法；难点：本次试验当中通过具体的题目编写实现改进欧拉法和四阶龙格-库塔法，虽然可以计算出具体数值，但是实验并不能准确表达各种方法的准确度，以及实验结果的收敛性，所以我们要将理论和实践相结合，理解各种算法的收敛性。
