1、Autumn 2013 Instructor : Y. Huang Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST,Partial Differential Equations,3.1 一维波动方程初值问题,无界弦的自由振动 波的传播 无界弦的受迫振动和齐次化原理 半界弦的振动和延拓法 端点固定的有界弦的振动 解的先验估计,1. 一维波动方程初值问题,基本思路：,无界弦的自由振动( )：经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解，代入初始条件得特解（达朗贝尔公式）；,无界弦的受迫振动( )：由叠加原理分
2、解为：齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解）；,半界弦的振动( )：以某种方式延拓 f 及初始函数，转成无界弦的振动问题，求出解后限制在半界区域上。,1.1 无界弦的自由振动,在弦的微小横振动问题中，如果弦未受到任何外力作用，而且只研究其中的一小段，那么在不太长的时间里，两端的影响都来不及传到，不妨认为两端都不存在，弦是“无限长”，则可提出如下定解问题,其中 分别表示初始位移和初始速度。,(1) 泛定方程的通解,由泛定方程可得其特征方程为,即特征线满足方程,故特征线为,作变换,则,代入泛定方程可得标准型,两边依次关于 积分，得通解,其中F,G为两个可微的任意单变量函数。,代回原变量，
3、得泛定方程通解,(2) 定解问题的特解达朗贝尔公式,利用初始条件来确定通解中的任意函数F和G：,则,其中 为任意一点，c 为常数。,故有,则得初值问题特解,称为达朗贝尔公式(DAlembert),或无界弦的自由振动问题的达朗贝尔解.,例1. 求解初值问题,解. 此时 ，故由 DAlembert 公式有,注：有些例子虽然不能直接应用由DAlembert 公式，但可利用与推导 DAlembert 公式相同的方法求解。,例2. 求解初值问题,解. 泛定方程的特征方程为,即特征线满足方程,故特征线为,作变换 则原方程可化为,其通解为,即,故有,即,所以可得初值问题的特解为,利用初始条件可得,例3. 求
4、解有阻尼的波动方程的初值问题,解. 泛定方程含有阻尼项，不能直接用DAlembert 公式，但可将阻尼作用表示为其解中带一个随时间成指数衰减的因子。,即令 为待定常数，于是有,代入泛定方程得,取 原定解问题化为,由DAlembert 公式可得,从而原问题的解为,注：当 时，由DAlembert 公式 (3.3) 定义的函数 u(x,t) 称为初值问题 (3.1) 的古典解。当 不满足该条件时，由公式 (3.3) 定义的函数 u(x,t) 常称为初值问题 (3.1) 的广义解。,(3) 达朗贝尔解的适定性,Th 3.1 假设 ，则对任意给定的 T 0，初值问题 (3.1) 的DAlembert
5、解在区域 上是适定的。,证. 从DAlembert 公式的推导可见，只要 ， DAlembert 解是满足初值问题 (3.1) 的，即DAlembert 解是存在的。,唯一性. 若有 具有相同的初始条件，则满足零初始条件下的初值问题(3.1) (即取)，进而由DAlembert 公式可得,稳定性. 设有两组初始条件 且它们相差很小,事实上，由DAlembert 公式，有,只要,记 表示相应于这两组初始条件的解，要证：在有限的时间内，当初始条件有了微小改变时，其解也只有微小改变。,例4. 求解初值问题,其中,解. 此时 下求广义解。由DAlembert 公式，有,计算可得其解的具体情况如下：,(
6、1) 当 时，有,(2) 当 时，有,(3) 当 时，有,注：例4中的 因此DAlembert 解 u(x,t) 不是一个古典解，仅是形式解。,1.2 波的传播,(1) 达朗贝尔解的物理意义,为方便起见，记,显然 都是方程 的解，且,首先考察,给定 t 的不同值，就得到弦在各时刻的振动状态。,当 t=0 时， 对应的是初始状态；,因时间段 内波形右移了距离了 故 a 为波移动的速度。,这种形如 的解所描述的弦振动规律称为右传播波或右行波。,经时间 之后， 表明在(x,u)平面上 时刻的波形相对于初始时刻的波形向右平移了距离随着时间的推移，波形继续向右移动，而形状保持不变。,因此，DAlembe
7、rt 解 (3.3) 表明初值问题 (3.1) 的解是由 和确定的左、右行波 的叠加(其中 是 的一个原函数 )。这就是DAlembert 解 (3.3) 的物理意义。这种构造解的方法称为行波法。,类似地， 保持波形 F(x)以速度a向左移动，称为左传播波或左行波。,注：行波法基于波动的特点，引入了坐标变换简化方程； 优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便； 缺点：通解不易求，有局限性。,由 DAlembert 公式得,例5.（初始位移引起的波动）一根无限长弦的初始位移为从静止开始运动，求其在任意时刻的位移。,解. 定解问题为,例6.（初始速度引起的波动）一根无限长弦的初始位移为0,以初
8、始速度 开始振动，求其在任意时刻的位移。,解. 定解问题为,其中,由 DAlembert 公式得,其中,(2) 依赖区域、决定区域、影响区域,由 DAlembert 公式,可知，初值问题的解u在点 的值由函数 在点 和 的值以及函数 在区间 上的值唯一确定。区间 称为点 的依赖区间。,在 x 轴上任取一区间c,d,过点(c,0)和(d,0)分别作直线x=c+at 和 x=d-at,构成一个三角形区域K。K内任一点(x,t)的依赖区间都落在c,d内，故 u(x,t) 在 K 内任一点(x,t)的值都完全由初值函数 和 在区间c,d上的值来确定，而与此区间外的数据无关。,这个区域K称为区间c,d的
9、决定区域。即在区间c,d上给定初值 和 ，就可以确定解在决定区域K内的值。,过点(c,0)和(d,0)分别作直线 x=c-at 和 x=d+at。经过 t 时刻后，受到区间c,d上初值扰动影响的区域是,此区域内任一点(x,t)的依赖区域都全部或有一部分落在c,d内，故解在这种点的值与初始函数在区间c,d上的值有关。此区域外任一点的依赖区间都不会和区间c,d相交，故解在这种点的值与初始函数在区间c,d上的值无关。,注：两条直线 (常数)对一维波动方程的解起着重要的作用，这两条直线称为波动方程的特征线，所以行波法又称为特征线法。,这个区域 D 称为区间c,d上的影响区域。简言之，影响区域是那些使得
10、解的值受到区间c,d上初始函数的值影响的点所构成的集合。,1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理,当弦受到外力 f(x,t) 作用而产生振动时，有如下非齐次方程的初值问题,由线性叠加原理可知，若 v(x,t), w(x,t) 分别为初值问题,的解，则 u(x,t) = v(x,t)+w(x,t) 是初值问题(3.4)的解。,初值问题(3.5)的解可由DAlembert 公式(3.3)直接给出，因此，为求解(3.4) ,只需求解(3.6)。,对问题(3.6),若能设法将非齐次项消除，即将方程变为齐次方程，便可同样由DAlembert 公式(3.3)得到解。,1.3.1 冲量原理(齐次化原理),对问
11、题(3.6)中的 是单位质量的弦上所受的外力，这是从初始时刻 t =0 一直延续到时刻 t 的持续作用力。,由线性叠加原理，可将持续作用力 f(x,t) 所引起的振动(即初值问题(3.6)的解)，视为一系列前后相继的瞬时作用力所引起的振动 的叠加，即,我们先来分析瞬时作用力 所引起的振动。,从物理的角度考虑，力对系统的作用对于时间的累积是给系统一定的冲量。所以在短时间间隔 内 对系统的作用可表示为冲量 ，这个冲量使得系统的动量有一改变量(因 是单位质量弦所受外力，故动量改变量在数值上等于速度改变量)。,若将 时间内得到的速度改变量看成是在 时刻的一瞬间集中得到的，而在 的其余时间则认为没有冲量
12、的作用(即没有外力的作用)，则在 时间内，瞬时力 所引起的振动的定解问题可表示为,为便于求解，设 则有,由上述分析可看出，欲求解问题(3.6),只需求解(3.7)，而,即,这种用瞬时冲量的叠加代替持续作用力来解决定解问题(3.6)的方法，称为冲量原理，可归结为如下定理。,定理1. (齐次化原理)设 若 是初值问题(3.7)的解，则由积分(3.8)所定义的函数 w(x,t) 是初值问题 (3.6) 的解，其中 是参数。,证. 由(3.8)和含参变量积分的求导公式，有,代入(3.6)中的泛定方程和定解条件均满足。,注：变限积分求导公式,若 f (x,y)及其偏导数 都在 上连续，为定义在a,b上其
13、值域含于c,d中的可微函数，则函数,在a,b上可微，且,1.3.2 纯受迫振动的解,对于问题(3.7),令 则有,由DAlembert 公式(3.3)有,注:(3.10)的被积函数区域为 平面上过点(x,t)向下两特征线与 s 轴所围三角形区域。,代入(3.8)有,纯受迫振动(3.6)的解,例1. 求解初值问题,解. 此处 a =2,f(x,t)=2x, 由(3.10)有,1.3.3 一般受迫振动的解,定理2. 假设函数 则初值问题(3.4)存在唯一解,一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式,进一步地，对于任意 T0,(3.4)的解在区域 上是稳定的。,例2. 求解初值问题,解
14、.,命题1. 假设函数 且关于变量 x 是偶/奇/周期为 T 的函数，则初值问题(3.4)的解 u(x,t)关于 x 也是偶/奇/周期为 T 的函数。,证. 只对奇函数给出证明，其他情形类似可证。,设u(x,t)是初值问题(3.4)的解，定义w(x,t)= -u(-x,t),则有,从而有,即w(x,t)满足初值问题(3.4)中的泛定方程。又,即w(x,t)满足初值问题(3.4)中的初始条件。,再由定理2关于解的唯一性，得w(x,t)= u(x,t)，,即 -u(-x,t)=u(x,t)， u(x,t)为奇函数。,例3. 求解初值问题,解. 由Kirchhoff 公式得,1.4 半界弦的振动和延
15、拓法,1.4.1 端点固定的情况,(1) 齐次端点条件,考虑定解问题,为了利用DAlembert 公式求解，把初始条件和 f 延拓到,设此时定解问题为,则在 上，有,其中，对 有,问题是，对 x 0,如何定义,或者说，如何把 延拓到 x 0,使得u(0,t)=0 ?,由微积分知，若一个连续函数 g(x)在 上是奇函数，则必有 g(0)=0。,故要使得解 u(x,t)满足u(0,t)=0，只要 u(x,t)是 x 的奇函数即可。而由命题1知，只要 是 x 的奇函数。,为此，只需要对 关于 x 作奇延拓。,通过 的奇延拓，得到定解问题(3.13)的解 U(x,t)。问题(3.12)的解 u(x,t
16、) 就是 U(x,t)在上的限制，即,当 时，有,当 时，有,(2) 非齐次端点条件,考虑定解问题,可令 则 满足,此时端点条件已化为齐次形式,利用前述方法可得解 , 从而,例4. 求解初值问题,解. 把 关于 x 奇延拓到,得到新定解问题的解,限制在 上，得到：,当 时，有,当 时，有,例5. 求解初值问题,解. 当 时，有,当 时，有,注意到此时满足,1.4.2 端点自由的情况,(1) 齐次端点条件,考虑定解问题,类似地，因为 可把 偶延拓，即令,则 在 上是偶函数。,由命题1可知，初值问题(3.13)的解关于 x 是偶函数。,问题(3.14)的解 u(x,t)就是U(x,t)在 上的限制
17、，即,当 时，有,当 时，有,(2) 非齐次端点条件,考虑定解问题,可令 化为齐次端点问题。,例6. 求解初值问题,解. 当 时，有,当 时，有,1.5 端点固定的有界弦的振动,由于波在边界处的不断反射，有界弦振动问题相比于无界弦负责得多。考察长为 l 的端点固定的弦的振动问题：,由前面的讨论可知，泛定方程的通解为,代入初始条件，得,解得,因此，,故解在区域 内由初值唯一确定。,对于比较大的时刻，解还依赖于边界条件：,若令 则(3.18)化为,若令 则(3.19)化为,在(3.16)中取 得,由(3.20)和(3.22)得,从而， 的范围被延拓到,在(3.17)中取 得,在(3.18)中取 得
18、,由(3.24)代入(3.25)得,从而， 的范围被延拓到,类似地进行下去,可得 (对所有 )和 (对所有 )。因此，对所有 和 ，解唯一确定。,例7. 求解初值问题,解. 由(3.16)和(3.17)，有,由(3.23)，得,由(3.26)，得,再次使用由(3.20)和(3.27)，有,持续进行下去，可得解,对所有 和所有 t 0.,1.6 解的先验估计,先验估计是各类数学物理方程或更一般的偏微分方程理论中的一个常用的方法，其基本点是：先假定所讨论的定解问题有解存在，然后导出应当满足的估计。,先验估计本身提供了关于解的有界性、渐进性等信息，由此可得到相应定解问题解的唯一性和稳定性，并可结合其他分析方法导出一些定解问题的存在性。,对一维波动方程的解，可导出一些简单的估计式：,例8. 设 u(x,t)满足定解问题(3.1)且 则对任何成立,证. 由DAlembert公式，有,由 模的三角不等式，有,即,即,作业习题三（书P.67 ）第1(1,4);3(1);4;12;15 题,
