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类型常微分方程初值问题(end)(1).ppt

  • 上传人:j35w19
  • 文档编号:10092955
  • 上传时间:2019-10-09
  • 格式:PPT
  • 页数:41
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    常微分方程初值问题(end)(1).ppt
    资源描述:

    1、北京科技大学应用学院数力系卫鸿儒 W,科学与工程计算方法,课程性质和计划(续),计算方法,概论,泛函分析中若干概念,矩阵特征值与特征向量的计算,最佳平方逼近,数值逼近方法,方程组及非线性方程的数值解法,常微分方程初值问题的数值解法,3、Runge-Kutta 方法,Runge-Kutta 方法是一种高精度的单步法,简称R-K法。得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开。 假设式 y =f(x,y) (axb) 中的 f(x,y) 充分光滑,将y(xn+1)在x n点作Taylor展开:,(1)基本思想,对照标准形式 y n+1=y n+h(xn,y n,h) 。若取(x,y,h)=y

    2、(x)+(h/2!)y(x)+(hp-1/p!)y(p)(x)并以y n代替y(xn),则得到一个p阶近似公式y n+1=y n+h(xn ,y n ,h)(n=0,1,2,) (*),R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想,即计算f(x,y)在不同结点的函数值,然后作这些函数值的线性组合,构造近似公式,式中有一些可供选择的参数。将近似公式与Taylor展开式相比较,使前面的若干项密合,从而使近似公式达到一定的精度。下面以二级二阶R-K方法为例说明这一方法的基本思想。,在xn , xn+1 上,取f(x,y)在两个点的函数值作线性组合,即得到二级R-K方法:y n+1=y n

    3、+h(c1K1+c2K2)K1=f(xn,y n) (*) K2=f(xn+a2h,y n+b21hK1) 其中c1,c2,a2,b21为待定参数。对照式(*)有:(x,y,h)=c1f(x,y)+c2f(x+a2h,y+b21hf(x,y),(2)二级二阶R-K方法,(xn,y(xn);h)=(c1+c2)y(xn)+c2(a2hfx+b21hfyf)+O(h2) 因为y(xn+1)在xn处的Taylor展开为y(xn+1)=y(xn)+hy(xn)+(h2/2!)y(xn)+O(h3) 由显式单步法在xn+1的局部截断误差定义有:Tn+1=y(xn+1 )-y(xn )-h(xn ,y(x

    4、n ),h)=h(1-c1-c2)y(xn )+h2(1/2-a2c2)fx+(1/2-c2b21)fyf+O(h3) 显然,若要求Tn+1=O(h3),则应有c1+c2=1 c2a2=1/2 c2b21=1/2,当 =1时,c1=0,c2=1,得yn+1= yn+hK2 n=0,1,.N-1K1=f(xn,yn)K2=f(xn+h/2,yn+hK1/2) 这就是变形的欧拉方法或中点方法。,二级R-K方法是显式单步式,每前进一步需要计算两个函数值。由上面的讨论可知,适当选择四个参数c1,c2,a2,b21,可使每步计算两次函数值的二阶R-K方法达到二阶精度。能否在计算函数值次数不变的情况下,通

    5、过选择四个参数,使得二阶R-K方法的精度再提高呢?答案是否定的。无论四个参数怎样选择,都不能使公式(*)提高到三阶。这说明每一步计算两个函数值的二阶R-K方法最高阶为二阶。若要获得更高阶得数值方法,就必须增加计算函数值的次数。,仿照二级R-K方法,在xn , xn+1 上,取f在m个点的函数值做线性组合,即得到m级R-K方法:,(3) m级显式Runge-Kutta 方法,前面已经看到,二级、四级R-K方法可分别达到最高阶数二阶、四阶,但是N级R-K方法的最高阶却不一定是N阶。N表示R-K方法的级数表示公式中计算函数值f的次数。Butcher给出了R-K方法计算函数值f的次数与阶数之间的关系表

    6、,如下:计算f的次数 1 2 3 4 5 6 7 方法的最高阶数 1 2 3 4 4 5 6由表可见,四级以下R-K的方法其最高阶数与计算f的次数一致,对m阶R-K公式,当m4,虽然计算f的次数增加,但是方法阶数不一定增加。因此四级四阶R-K公式是应用最为广泛的公式。,4、绝对稳定性问题,5、经典R-K法应用中步长的自动选取,注:一阶微分方程组与高阶方程的数值解法,(1)一阶微分方程组的解法前面介绍的单个方程的各种数值解法完全可以推广到一阶微分方程组的情形,只要将一阶微分方程组中的函数换为向量函数,得到方程组初值问题转化的类似于一阶微分方程的初值问题,按照前面的解法可给出欧拉格式或者经典的R-K方法。 (2)高阶方程的数值解法对于高阶微分方程,可通过引入变量代换,将其化为一阶方程组,再按(1)的方法求解。,例题:,因此得到:,谢 谢!,

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