1、12 热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或 Cauchy 问题)（2.1）xxu ttfat),(0,( 0,2偏导数的多种记号 .xxt uu2,问题(2.1)也可记为.xxu ttfat),(0,( 0,22.1 Fourier 变换我们将用 Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题 .为此我们将着重介绍 Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具.可积函数,设 是定义在 上的函数, 且对任意 ， 在 上)(xf)(AB()fx,AB可积，若积分 收敛,则称 在 上绝对可积。dxf),(将 上绝对可积函数形成的集合记为 或 ，),( 1
2、L),(即 ，称为可积函数空间.dxfL)(|),(1连续函数空间: 上全体连续函数构成的集合 ,记为 , )(C，上 连 续在 )(|),(fC。上 连 续在 ,|1 定义 2.1 若 ,那么积分)(Lf(2.2),()(21fdxefi有意义,称为 Fourier 变换, 称为 的 Fourier 变式( 或 Fourier 变换的象).)(ffdxeffFf i)21)(定理 2.1 (Fourier 积分定理)若 ,那么我们有(,CLf2(2.3),()(21limxfdefNxiN公式(2.3)称为反演公式.左端的积分表示取 Cauchy 主值.通常将由积分 所定义的变换称为 Fou
3、rier 逆变换.)()(21xgdegxi因此(2.3)亦可写成 f即一个属于 的函数作了一次 Fourier 变换以后,再接着作一次),(),(1CLFourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把 称为 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微)(f)(xf分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理 2.1 的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,)定理 2.2 设 ， ，则 是有界连续函数,且),Lf dxeffi)(21( )(f.0limf在运用 Fourie
4、r 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些 Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质：1.（线性性质）若 则.2,1),(jCLfjj ,21ff2.（微商性质）若 则),(),(),( LCxf .fidxf证明 由假设 故 ,),(, xf 0)(lmxx事实上由 ,则 ,)()xf tfffx0)(因为 ,故有(L0)()()(limdtffaxfx又因 ,必有 .)()xf 03由 ,利用分部积分公式0)(limxfxdxefdf i)(21 dxeiffxi )()( ).()(2fidefixi附注 这个性质说明微商运算经 Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用
5、 Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具.3.（乘多项式）若 则有 .),(),(Lxf )()(fdixf证明 由于 ,故 是 的连续可微函数,且有,f )()(21)( xfixeixffdi附注 作为性质 2,3 的推论,若 则),(),)( LCffm1(,)mfidxfm若 则),(), Lxff1(,)fdixfmm4 （平移性质）若 则),()Lf)1(feaxai证明 )()(21)( )( fedyefyaxxff aiaii 5.（伸缩性质）若 则),()Lxf4)
6、0(,)1)(kfkxf证明 无妨设 由定义,)(11)(21)(2)(kf dykeffykxdxekff ikyii6.（对称性质）若 则 ),()Lxf ,)()ff证明 dxeff i(21dxefi)(21.)(f7.（卷积定理）若 称为 与 的卷积,),(),(Lxgf tgtxfgf )()( fg则 ,且有.2证明 由积分交换次序定理 dxtgxfdxgf |)(|)( dtxgtf)(tft)dtf)(故 ,又由积分交换次序定理()Lxf.2)(21)(1)(21)( gf dyefdtexxftdtgtdegf ii titixi 下面作为例子,我们根据 Fourier 变
7、换的定义与性质求一些具体函数的 Fourier 变换.例 1 设 ,(其中常数 ).Axxf,01)( 05求 .)(1f解 由定义 AxiAxi dedeff 21)(2)(11.Axisin例 2 设 ,0,)(xefx求 .2f01)(dxef i0)1(2dxei.0)1(2xii例 3 设 求,)(xef)(3fdf xi213 0)1(0)1(2dxedxeii .ii12例 4 设 求,)(2xef)(4fdf xi24 dxeiix112eiei xixi 2212，2xei )(4fd上面最后一个等式应用了性质 3. 因为 作为 的函数适合下面常微分方程初值问题：)(4f,2
8、121)0(,244dxeffd解之得6.4421)(ef例 5 设 （ ）,求 .,)(2Axef05f由性质 5. AefAxfxff 44455 21)(1)()()( 例 6 ( ),)(422 BfexfBx0.44662)/1(/()( Befff degfxgf xi)(21)(yfxi)(degfxi)(21 yyfeygxiix)()(,2f,gffgf 211于是 ,ff因为 ,gfgf2所以 .gfff 211最后我们简单地介绍一些有关多维 Fourier 变换的基本知识定义 2.2 设 那么积分),(),()21nnRLxfxf 7,)()(21fdxefnRi有意义,
9、称为 的 Fourier 变换, 称为 的 Fourier 变式.)(xf )(f)(f定理 2.2（反演公式）若 ,则有)(1nnLCf.)()(2limxfdefNxinN称为 的 Fourier 逆变换.nRxidegxg)(21)( )(g定理 2.2 表明 容易证明关于一维 Fourier 变换的性质 17 对于多维ff,Fourier 变换依然成立.根据上面 Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论：8. 若 其中 则有)()()(21nxffxf ),()Lxfi（2.5）1ii利用这一性质,我们可求出函数 的 Fourier 变式.221)(iAxnixAef事实上 ,A
10、Axii ee4221.AnAnixnixni eef iii 44111 2222 1)( 2.2 Poisson 公式在这一小节中我们应用 Fourier 变换解初值问题（2.6）xxu ttfat),(0,( 0,2在方程（2.6）两边关于变量 作 Fourier 变换,dxetutui),(21)(利用性质 1 和性质 2,得到 ),(,02tutfad8其中 ,dxetutui),(21),( dxei)(21)(.,txftf解之得,t tata defetu0)(22),(),( 现在对上式两边求反演,由反演公式,得（2.7）t tataftx0)(22),(),( 由 ,214
11、22AAxeei 取 则 ,ta24taxtae2241即 ,taxtaee2241令 , ,241),(xtatxgtaetg2)(从而有 eta*22 dxg)(21（2.8）tatax24)(同理我们有gftgfefta *21),(),),()(2 （2.9）deftatax)(42,()(21于是得 detafttxu taxttax )(404)( 22 )(21),(),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解.9定理 2.3 若 ,且 有界,则)()Cx(xdetatxutax24)(21),(在 上连续,且在 上具有任意阶的连续偏导数，0(R,0R是问题 的解,
12、 ),(txuxxutat),(,( 0,2即 满足方程和 .,t )(lim00txtdetatxuta24)(21),(etx2)(/)(特别说明：当 连续, 是某些无界函数时, 的表达式亦是解（ 无) ),(txu)(x界时，也可以是解）.例 1 求解 xuatsin,02解 1、直接观察 是解.xettasin),(22、 dtxtxu2),(eta2)sin(1 detaxtx 22sincocoideta2sin1xtai22si, .421intae421sintaexxtsin24221ee例 2 求初值问题 的解xutcos,02 .xtutacos),(210例 3 求初值
13、问题 的解.1,20xuat解 1 直接观察 t2),(2. detaxtxu21),( 2 tt24122tax22从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.1cos,202xut定理 设 在 上连续且有界，)(),， 在 上连续且有界，,txfxft,0(T令 ，detatutax24)(21),( detfdtaxt )(40 21),(1其中常数 ，则有 ； 问题0)(,(lim00,tutx,)uxtxxu ttfat),(0,( ,2的解。证明 由于 ，detat 2)(1),( detaxft 2),2(10利用控制收敛定理，得 ；),(lim
14、0,txut)()(1002x2()4(,)()xatuxt edt；2()4011(,)2xt atdfta(,)fxt112()224(,)1()xatuxt edx，2()2401(,)(2xt atdfat显然成立 ，结论得证。2(,)ufxtt定理 假设函数 ， 关于 都是解析的，则问题,tfxxu ttfat),(0,( 0,2的解可以写成 0)2(20)2( ,!(!),( nt nxnn dfatat 其中 和 分别是 和 关于 的 阶导数。)2(x),(2fn)(x),f证明： detatu21),(t txf0 2),(detakk20)()!1 tk kx dtf0)(
15、2)!, 。0)2(20)2( ,!(!nt nxnn fata例 求解定解问题2,(,0),(,0)cos).uAttxx其中 是常数。,A解 方法一：21(,)s()uxtated12t detaxA0 2)2(12costAxt；2atext方法二： (2)0()(,)cos!nnnuxt xt20(1)nnaAt。2cosatext解的性质与物理解释（对齐次方程 ),(0,(2xuat1.（奇偶性与周期性）若 是奇（偶,周期为 的）函数,则解 亦是 的奇（偶,l detat tax24)(21),( x周期为 的）函数.l2.（无限传播速度）如果杆的初始温度 只在小段 上不为零,不妨假
16、设 ,即)(x),(0x0)(x,其它处 .那么当 ,杆上各点的温度,0)(0x 0t)(21)(21, 022 4)(4)(xtaxtax detdetatu也就是说在顷刻之间,热量就传递到杆上的任意一点,当然在 附近的点所受到的影响较大（0x来定）,而离 较远的点受到的影响较小.这与我们知道的物理现象一致.taxe24)(0x初值问题解的渐近性态讨论当 时,热传导方程初值问题解的渐近性态.由前面的讨论可知,当 为有界t )(x连续函数时,热传导方程的初值问题 的解的唯一性,由下列 Possion 积分给出)(02xuat13.detatxutax24)(21),(为了讨论解的渐近性态,还需要对 加进一步的条件.)(如果 收敛,则称 并记 .dx)(,1RLdxRL)()(1定理 2.4 设 是有界连续函数,且 则初值问题的唯一经典解（古典解）具有如下的)(渐近性态：对一切 当 时,一致地成立0,tRxt,（ ）.0),(21Ctxut其中 为一个仅与 与 有关的正常数.Ca)(1RL证明 由 ,dettxutax24)(2),(tat tax24)(1),(dt)(221)(1CtaRL证毕.物理现象符合,高温 变低温,以至冷却到 0.热的不可逆性：),(0,( 0,2xutxat对一般的 ,解不存在,说明热的逆现象是不确定的.
