拉氏变换与反变换

1、1常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号 拉氏变换 E(s) 时间函数 e(t) Z 变换 E(z)1 1 (t) 12 Tse0)()nTttz3 114 21st 2)(zT5 32 316 1ns!nt )(!)(lim0aTnaez7 aate 8 2)(sat 2)(aTez9 aate11a10 )(bsbtt bTTezz11 2tsin1cos2in12 sco)(Tz13 2)(ateatsin aaee22cosin14 2statcoaTaTz2215 aTln)/1(Tt/ 2。

2、419附录 A 拉普拉斯变换及反变换1.表 A-1 拉氏变换的基本性质齐次性 )(saFtfL1 线性定理叠加性 )(2121s一般形式 1)1( )1(22)(0)(kk knnndtff fsFtLfdtff）（2 微分定理初始条件为 0 时 )()(sFtfLnn一般形式 nktnnnn ttt dfsFdtfLsffstfdd1002202 )()()( )()()( 个共个共 3 积分定理初始条件为 0 时 n个共 4 延迟定理（或称 域平移定理）t )()(1seTtf5 衰减定理（或称 域平移定理）s)aFeLat6 终值定理 )(lim(li0stfst7 初值定理 )0st4208 卷积定理 )()()( 21021021 sFdtfLdftLt 2表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号 拉氏变换 E(s) 。

3、419附录 A 拉普拉斯变换及反变换1.表 A-1 拉氏变换的基本性质齐次性 )(saFtfL1 线性定理叠加性 )(2121s一般形式 1)1( )1(22)(0)(kk knnndtff fsFtLfdtff）（2 微分定理初始条件为 0 时 )()(sFtfLnn一般形式 nktnnnn ttt dfsFdtfLsffstfdd1002202 )()()( )()()( 个共个共 3 积分定理初始条件为 0 时 n个共 4 延迟定理（或称 域平移定理）t )()(1seTtf5 衰减定理（或称 域平移定理）s)aFeLat6 终值定理 )(lim(li0stfst7 初值定理 )0st4208 卷积定理 )()()( 21021021 sFdtfLdftLt 2表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号 拉氏变换 E(s) 。

4、8 3 Z 变 换变 换 实 质 是 一 种 离 散 拉 氏 变 换 ， 可 以 看 作 是 拉 氏 变 换 的 推 广 与 发 展 。z我 们 已 经 很 熟 悉 ， 对 于 一 个 线 性 连 续 系 统 ， 其 运 动 特 性 可 用 线 性 微 分 方 程 来 描 述 ， 并 且可 应 用 拉 氏 变 换 的 方 法 来 分 析 其 动 态 及 稳 态 性 能 。 相 似 地 ， 一 个 线 性 采 样 系 统 ， 其 运 动 特 性可 由 线 性 差 分 方 程 来 描 述 ， 相 应 地 ， 需 要 应 用 离 散 拉 氏 变 换 法 ， 即 所 谓 z 变 换 法 来 分 析 其 动 态及 稳 态 性 能 。由 式 (8 2)或 式 (8 3)可 知 。

5、常用拉普拉斯变换总结1、指数函数，其中，A 和 a 为常数。00)(tAetft sAteLsstt )(0 dd2、阶跃函数，其中， A 为常数。)(tAtfseLst0d3、单位阶跃函数 1)(ttustetLs1d04、斜坡函数 0)(tAttf，其中，A 为常数。00 dd tsesetttLs 20dsAtesAsA1 时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在 t=t0 时刻的单位斜坡函数写成 r（t-t 0）5、单位斜坡函数 0)(ttf00 dd tsestteLs201dstess6、正弦函数，其中 A 为常数。0sin)(ttAtf)(ft图 2.3 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数t(a) (b)0 0根据欧拉公式：拉式变换为： 2012d)(2sin sAjjsAtejtLstjtj同理余弦函数的。

6、1 拉氏变换的定义 若时间函数 f(t) 在 t 0 有定义，则 f(t) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为desFLsF2 拉普拉斯反变换 ,可表示为：f(t) =L-1F(s)stfte(j21)(1.表 A-1 拉氏变换的基本性质齐次性 )(saFtfL1 线性定理叠加性 )(2121s一般形式 1)1( )1(22)(0)(kk knnndtff fsFtLftfdf）（2 微分定理初始条件为 0时 )()(sFtfLnn一般形式 nktnnnn ttt dfsFdtfLsffstfdd1002202 )()()( )()()( 个共个共 3 积分定理初始条件为 0时 n个共 4 延迟定理（或称 域平移定理）t )()(1seTtf5 衰减定理（或称 域平移定理）s)aFeLat6 终值定理 )(lim(li0stfs。

7、2010-12-07 19:25:26 来自 : Brad(要理解递归，你先要理解递归) 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的。

8、)0(123421)( 31)()( 12)3()(2322 41)1()1( 3)()(12132403 10201 430220 teettg ssssG ssAssA sdsAssAGsstt sss)0(3cos2)(1 )3()1(21212)3()4)(283 21)1()(2)2(4)(831)(223131)4)(8)(22312 3114 0322 tetg sssjjsGjssAjsssAssAjsAjsstt jsjss3、试用拉氏变换求解下列微分方程)0(2sin1032cos53)( 4)1(234154)( 4)1()2()(520312035)( 0348)() 0)2(348)21()5(53(321)21)(3)5()20)()0()(5)( 2123 212021212 tetetx ss sjsjjjjsjsX jjjsA jjssAsj。

9、419附录 A 拉普拉斯变换及反变换1.表 A-1 拉氏变换的基本性质齐次性 )(saFtfL1 线性定理叠加性 )(2121s一般形式 1)1( )1(22)(0)(kk knnndtff fsFtLfdtff）（2 微分定理初始条件为 0 时 )()(sFtfLnn一般形式 nktnnnn ttt dfsFdtfLsffstfdd1002202 )()()( )()()( 个共个共 3 积分定理初始条件为 0 时 n个共 4 延迟定理（或称 域平移定理）t )()(1seTtf5 衰减定理（或称 域平移定理）s)aFeLat6 终值定理 )(lim(li0stfst7 初值定理 )0st4208 卷积定理 )()()( 21021021 sFdtfLdftLt 2表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号 拉氏变换 E(s) 。

10、8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,一z平面与s平面的映射关系 二z变换与拉氏变换表达式之对应,返回,至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 相转化。在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。,一z平面与s平面的映射关系,在引入z变换的定义时，引入符号z=esT,式中T是序列的时间间隔，重复频率ws=2p/ T,sz平面映射关系,这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部s ；z的幅角q仅对应于s的虚部w 。

11、ejx=cos x+jsin x （此时z的模r=1）,其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的辐角.,复数及其指数形式,复数z可以表示为,Z = r (cosq+jsinq ) = rejq ,欧拉公式,z=x+jy,三角函数与复变量指数函数之间的联系,因为 ejx =cos x+j sin x, e-jx=cos x-j sin x, 所以 ejx+e-jx=2cos x, ex-e-jx=2jsin x. 因此,复变量指数函数的性质,特殊地, 有,ex+jy = exej y= ex(cos yjsin y).,.,欧拉公式,复数项级数,设有复数项级数(univn), 其中un, vn(n=1, 2, 3, )为实常数或实函数. 如果实部所成的级数un收敛于和u, 并且虚部所成的级数vn收敛于和v, 就说复数项级数。

12、傅氏变换与拉氏变换的关系2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用傅氏变换与拉氏变换都可以用来求解一些用普通方法难以求解的广义积分，下面举例说明：例 1 求函数 的傅里叶积分表达式。1 ()0tft其 它解：由（1-1）式有 1()()2 = 21sin (cot+isnt)d =2sinc ,iitiitiitftfedetd0(t1)当 时，傅里叶积分收敛于 ，根据以上的结果可以1t(1)0)22ff写成 0(), t12sinco= 2ftd即 0, 12sincot, 40tdt1由此可以看出，用傅里叶积分表达式可以推证一些广义积分的结果。本题中，取 则有0t，0sin2d这个就是著名的狄利克雷积分。同样，拉普拉斯变换也可以。

13、8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,一zs平面的映射关系 二z变换与拉氏变换表达式之对应,返回,至此，我们已经讨论了三种变换方法，即： 拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。,一z平面与s平面的映射关系,在引入z变换的定义时，引入符号z=esT,式中T是序列的时间。

14、傅氏变换与拉氏变换的关系2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用傅氏变换与拉氏变换都可以用来求解一些用普通方法难以求解的广义积分，下面举例说明：例 1 求函数 的傅里叶积分表达式。1 ()0tft其 它解：由（1-1）式有 1()()2 = 21sin (cot+isnt)d =2sinc ,iitiitiitftfedetd0(t1)当 时，傅里叶积分收敛于 ，根据以上的结果可以1t(1)0)22ff写成 0(), t12sinco= 2ftd即 0, 12sincot, 40tdt1由此可以看出，用傅里叶积分表达式可以推证一些广义积分的结果。本题中，取 则有0t，0sin2d这个就是著名的狄利克雷积分。同样，拉普拉斯变换也可以。

15、补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换,拉氏变换的定义常用函数的拉氏变换拉氏变换的定理拉氏反变换,拉氏变换的定义,设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛。,则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=+j（，均为实数）,F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,常见时间函数拉氏变换表,常见时间函数拉氏变换表,指数函数的拉氏变换,（欧拉公式）,三角函数的拉氏变换,阶跃函数。

16、 *拉普拉斯变换及反变换* 定义：如果定义： 是一个关于的函数，使得当 时候， ； 是一个复变量； 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分 ； 是的拉普拉斯变换结果。 则 的拉普拉斯变换由下列式子给出： 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()( saFtafL 叠加性 )()()()(2121sFsFtftfL 2 微分定理 一般形式 11)1()1(1222)()()0()()(0)0()()()0()()(kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（初始条件为0时 )()( sFsdttfdLnnn3 积分定理 一般形式 nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfss。

17、补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换,拉氏变换的定义 常用函数的拉氏变换 拉氏变换的定理 拉氏反变换,为什么用拉氏变换？,应用拉氏变换法求解微分方程时，初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，可直接得到微分方程的全解。,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程，从而使计算大大简化。,拉氏变换的定义,设函数f(t)满足：1、f(t)实函数；2、当t0时，f(t)=0；3、当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛。,则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：s=+j（，均为实数）,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,F(s。

18、2.2 拉氏变换及拉氏反变换,拉氏变换的定义 几种典型函数的拉氏变换 拉氏变换的主要定理 拉氏反变换 拉氏变换在控制工程中的应用,2.2.1 拉氏变换的定义,概述 对于利用微分方程表达的数学模型形式，采用手工计算的方式求解是很烦琐的。利用拉氏变换，可将微分方程转换为代数方程，使求解大为简化，故拉氏变换是分析机电控制系统的基本数学方法之一。在此基础上，进一步得到系统的传递函数。,2.2.1 拉氏变换的定义,概述 拉氏变换实际上是一种函数变换。关于函数的变换我们在初等数学中也曾经用过。例如，用对数的方法就可以把乘、除的运算变。

19、2.5 拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 tf，它的定义域是 0t，那么 tf的拉普拉斯变换定义为 0edstFsLftf(2.10) 式中， s是复变数， js（、 均为实数）， 0et称为拉普拉斯积分； )(F是函数 )(tf的拉普拉斯变换，它是一个。