1、 *拉普拉斯变换及反变换* 定义：如果定义： 是一个关于的函数，使得当 时候， ； 是一个复变量； 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分 ； 是的拉普拉斯变换结果。 则 的拉普拉斯变换由下列式子给出： 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()( saFtafL 叠加性 )()()()(2121sFsFtftfL 2 微分定理 一般形式 11)1()1(1222)()()0()()(0)0()()()0()()(kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（初始条件为0时 )()( sFsdttfdLnn
2、n3 积分定理 一般形式 nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfssFdttfL1010220220)(1)()()()()()()()()()(个共个共初始条件为0时 nnnssFdttfL)()( 个共4 延迟定理（或称t域平移定理） )()(1)( sFeTtTtfLTs 5 衰减定理（或称s域平移定理） )()( asFetfLat6 终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst 7 初值定理 )(lim)(lim0ssFtfst 8 卷积定理 )()()()()()(21021021sFsFdtftfLdftfLtt2表A
3、-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z变换E(z) 1 1 (t) 1 2 Tse110)()(nTnTtt 1zz3 s1)(1 t 1zz4 21st 2)1( zTz5 31s22t32)1(2)1(zzzT6 11ns!ntn)(!)1(lim0aTnnnaezzan7 as 1ateaTezz8 2)(1as atte2)(aTaTezTze9 )( assaate1 )(1()1(aTaTezzze10 )( bsasabbtatee bTaTezzezz11 22stsin 1cos2sin2 TzzTz12 22sstcos 1cos2
4、)cos(2TzzTzz13 22)( asteatsinaTaTaTeTzezTze22cos2sin 14 22)( asasteatcosaTaTaTeTzezTzez222cos2cos15 aTs ln)/1(1Tta/azz3 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(sF 是s的有理真分式 01110111)()()(asasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm（ mn ） 式中系数nnaaaa ,.,110 ，mmbbbb ,110 都是实常数； nm, 是正整数。按代数定理可将 )(sF 展开
5、为部分分式。分以下两种情况讨论。 0)( sA 无重根 这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。 niiinniisscsscsscsscsscsF12211)( （F-1） 式中，nsss ,21 是特征方程A(s)0的根。ic 为待定常数，称为F(s)在is 处的留数，可按下式计算： )()(lim sFsscissii（F-2） 或 issisAsBc)()(（F-3） 式中， )(sA 为 )(sA 对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 niiisscLsFLtf111)()( tsniiiec1(F-4) 0)( sA 有重根 设 0)( sA
6、有r重根1s ，F(s)可写为 )()()()(11 nrrsssssssBsF=nniirrrrrrsscsscsscsscsscssc11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r重根，1rs ，, ns 为F(s)的n-r个单根； 其中，1rc ，, nc 仍按式(F-2)或(F-3)计算，rc ，1rc ，, 1c 则按下式计算： )()(lim11sFsscrssr)()(lim111sFssdsdcrssr )()(lim!11)()(1sFssdsdjcrjjssjr(F-5) )()(lim)!1(11)1()1(11sFssdsdrcrrrss原函数 )(tf 为 )()(1sFLtf nniirrrrrrsscsscsscsscsscsscL 111111111)()()(tsnriitsrrrriecectctrctrc1122111)!2()!1(（F-6）
