1、9.2拉普拉斯变换的性质,一、线性与相似性质,二、微分性质,三、积分性质,四、延迟与位移性质,五、周期函数的像函数,六、卷积与卷积定理,9.2 Laplace 变换的性质,性质,一、线性性质与相似性质,1. 线性性质,例9.4 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换,同理可得,证明,性质,一、线性性质与相似性质,2. 相似性质(尺度性质),二、微分性质,性质,证明,由,因此当 时，有,有,即得,二、微分性质,1. 导数的象函数,性质,其中， 应理解为,此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程.,解因为,所以,参见例9.4, 与这里方法不同,根据微分性
2、质和线性性质,使用同样方法，可得,例9.6求解微分方程,解：对方程的两边做拉普拉斯积分变换，得到,故有,解2 用定义,二、微分性质,2. 象函数的导数,性质,一般地，有,同理可得,根据象函数的导数性质有,使用同样方法，可得,解,根据线性性质以及象函数的导数性质有,已知,三、积分性质,1. 积分的象函数,性质,由微分性质有,则 且,即得,三、积分性质,1. 积分的象函数,性质,一般地，有,一般地，有,三、积分性质,2. 象函数的积分,性质,根据象函数的积分性质有,即,在上式中，如果令 s = 0，则有,由积分性质有,即得,四、延迟性质与位移性质,1. 延迟性质,证明,四、延迟性质与位移性质,1.
3、 延迟性质,则对任一非负实数 有,设当 t 0 时,性质,注：函数f (t-)与f (t)相比, f (t)从t = 0开始 有非零数值.而f (t-)是从t =开始才有 非零数值. 即向后延迟了一个时间. 从它们的图象讲, f (t-)是由f (t)的图像沿t 轴向右平移而得, 其拉氏变换也多一个因子 .,写成,有,四、延迟性质与位移性质,1. 延迟性质,则对任一非负实数 有,设当 t 0 时,性质,可见，在利用本性质求逆变换时应为：,因此，本性质也可以直接表述为：,解：,例9.13求,解：因为,所以,根据延迟性质有,例如,性质,2. 位移性质,四、延迟性质与位移性质,这性质表明：一个函数乘以指数函数 后的拉氏变换等于其像函数作位移,证明,即得,性质,五、周期函数的像函数,故有,六、卷积与卷积定理,1. 卷积,按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指,则有,解,六、卷积与卷积定理,2. 卷积定理,定理,证明,左边 =,定理,六、卷积与卷积定理,2. 卷积定理,证明,左边 =,其中,左边 =,= 右边。,故有,课后作业,习题九 1-7,
