矩阵范数与矩阵函数

1、 第七章 函数矩阵与矩阵微分方程 函数矩阵 定义： 以实变量 的函数为元素的矩阵 11 12 121 22 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )nnm m m na x a x a xa x a x a xAxa x a x a xx称为函数矩阵，其中所有的元素 都是定义在闭区间 上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。 例： 已知 ( ) , 1 , 2 , , ; 1 , 2 , ,ija x i m j n , ab1 s i n 1 co s,11xxx x x xABe x e x 计算 定义： 设 为一个 阶函数矩阵，如果存在 阶函数矩阵 使得对于任何 都有 那么我们称 在区间 是 可。

2、第三章 矩阵分析及其应用3.1 矩阵序列与矩阵级数3.2 矩阵函数3.3 矩阵的微分与积分3.1 矩阵序列与矩阵级数1. 矩阵序列2. 矩阵级数1. 矩阵序列设有矩阵序列 A(k)=(aij(k)，若对所有的 i和 j，当 k趋于无穷时， aij(k)趋于 aij，则称 A(k)收敛 ，并称矩阵 A=(aij)是 A(k)的 极限 ，记做()lim .kk AA 若对某一组 i和 j， aij(k)不收敛，则称 A(k)发散 。定理 1：设 A(k) Cm n，设 |为任意广义矩阵范数， 则(1) A(k)趋于 0的充要条件是 |A(k)|趋于 0；(2) A(k)趋于 A的充要条件是 |A(k)-A|趋于 0。性质 1：设 A(k)和 B(k)分别收敛到 A和 B，则。

3、1 +9 +9 +9 u4 -L +90n+9rKS+9 4+9 4 +9 u4 ,X BCG-L Z d" (Benchmarking)7D,X( NZ YQ,X(,!EWRC d s >。

4、暨南大学应急管理学院 1. 邻接矩阵 本部分内容出自 离散数学 图论章节 1. 邻接矩阵 邻接矩阵的定义 设 G 是一个简单图，它有 n个结点 V v1， v2， ， vn，则 n阶方阵 A(G)(aij)称为 G的邻接矩阵。 aij Vi与 Vj之间存在关系； 1 0 Vi与 Vj之间没有关系或者相同； 0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0000000 0 1 0 0A1 2 4 5 3 邻接矩阵表达有向图 1. 邻接矩阵 有向图 邻接矩阵 0 1 0 0 01 0 1 0 00 1 0 1 10 0 1 0 00 0 1 0 0A 1 2 4 5 3 邻接矩阵表达有向图 1. 邻接矩阵 无向图 邻接矩阵 说明： 该邻接矩阵 为对称矩阵 1. 邻接矩阵 邻接矩阵乘幂。

5、摘 要 矩阵函数是矩阵论中的重要一部分内容，而矩阵函数中的一个重要函数就是矩阵指数函数，它在自控理论和微分方程中有广泛的应用，因而引起特别的光注本文首先总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而讨论了矩阵指数函数的计算方法，本文选择了其中的三种方法，并且举例说明它们的计算量，对它们进行了简单的比较，分析这三种方法的优缺点最后阐述矩阵指数函数在微分方程中求解的应用 关键词： 矩阵指数函数；Jordon 标准形；微分方程组 ABSTRACT Matrix functions constitute an important part of the Matrix theory. Among them the 。

6、匿堡罂霍霪鲨釜幽!垡幽唑盥 一理论前沿分块矩阵与矩阵秩数刘彦华(吉林广播电视大学松原分校教学处 吉林松原 1 31 200)摘要：本文应用分块矩阵方法证明了一秉列矩阵秩敦定理。关键词：分块矩阵 矩阵的秩数 单位阵 可逆矩阵中图分类号：G 7 2 8 文献标识码：A 文章编号；16739795(2011)03(a)一0094一ol关于矩阵秩数的一系列定理。有着各种各样的证明方法。有的应用向量线性无关组证明，有的用卉次线性方程组基础解系证明，也有的用矩阵初等变换和高矩阵来证明的，也有用向量空间基底维数加以讨论的。本文应用矩阵分块方法证明这些定理，非常。

7、,第7章 矩阵函数与矩阵值函数,7.1 矩阵函数,7.2 矩阵值函数,7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用,7.4* 特征对的灵敏度分析,7.1 矩阵函数,7.1.1 矩阵函数的幂级数表示,7.1.2 矩阵函数的另一种定义,7.1.1 矩阵函数的幂级数表示,定义7.1.1,定理7.1.1,推论 7.1.1,定理7.1.2,7.1.2 矩阵函数的另一种定义,设矩阵A的最小多项式为,定理7.1.3,定义7.1.2,则定义矩阵函数 f (A)为,定理7.1.4,定理7.1.5,定理7.1.6,其中,且(7.1.25)给出的矩阵函数f (A)与 A的Jordan标准形 J 中Jordan块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关。,定理7.1.7,定理7.1.8,7.2 矩。

8、第五章 向量与矩阵的范数定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上的 维线性空间，对于 中的任意一个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 的范数，记为 ，并且要求范数满足下列运算条件：（1）非负性：当 只有且仅有当（2） 齐次性： 为任意数。,（3） 三角不等式：对于 中的任意两个向量 都有例： 在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,证明： 都是 上的范数，并且还有引理（Holder不等式）：设,则 其中 且 。 证明 设 均为非负实数，则总有（*）,事实上，若令,则因 并且故当 时， 即当 时，容易验证 是 的最小值 ，所以 ，因。

9、第四章 向量与矩阵的范数定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上的 维线性空间，对于 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 的范数，记为 ，并且要求范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意数。,（3） 三角不等式：对于 中的任意两个向量 都有例 ： 在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,证明： 都是 上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设,则 其中 。

10、,哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,http:/matrix.hrbeu.edu.cn/,授课预计(10学时),第二章 内积空间与赋范线性空间,欧氏空间与酉 空 间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,酉(正交)变换与正交投影,向量范数与矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构。

11、第七讲 矩阵级数与矩阵函数 一 矩阵序列 1. 定义: 设有矩阵序列 , 其中 , 且当 时, 则称 收敛, 并把 叫做 的极限, 或称收敛于 A. 记为 或 不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质。

12、向量、矩阵范数与谱半径1. 向量的范数|2=(=1|2)12|1=1|=max1|由以上三个公式可以容易看出：向量的 2 范数各项平方和的开方，1 范数就是各项绝对值之和，无穷范数就是各项绝对值最大。例：向量 =(1 4 2)解： |2=12+(4)2+22=21|1=|1|+|4|+|2|=7|=|4|=42. 矩阵的范数|=max1=1|1=max1=1|2=(最大特征 值 )12可以（这个看的不太容易）看出：矩阵的无穷范数是行绝对值之和最大值，又称“行和范数” ；1 范数是列绝对值之和最大值，又称“列和范数” 。而 2 范数是需要求解的，也是经常要用到的！例：矩阵 =(1 23 4)解： |=max(|1|+|2|,|3|+|4|)=7。

13、第 四 章 矩阵范数理论及其应用 知识要点 ： 1、向量范数及其性质（范数与 赋范空间， n 维向量的 1-范数 1x 、 2-范数 2x 、 p -范数px和 范数 x ，pplim x x ，aPax Px， 2 HHPx P x x P P x ，有限维赋范空间的范数是等价的 ） 2、矩阵范数及其相容性（ Frobenius 范数 ， FEn ， 相容性 ： AB A B ， 1E ） 3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数） 4、矩阵范数的应 用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径） 4.1 向量范数及其性质 一、范数与赋范线性空间 定义 1： 如果线性空间 V 中 的任一向量 x 。

14、 8 2向量与矩阵的范数8 2 1范数的概念 引入范数是为了度量线性代数方程组解的误差的大小 衡量数的绝对误差率用到绝对值 而方程组的解是向量 衡量其误差 自然需推广绝对值的概念 众所周知 数的绝对值是的函数具有以下三性质 推广到向量 具有如下类似性质的函数称为向量的范数或模或长度 几何上三角不等式表示 在以向量 及其和构成的三角形中 一边之长不超过另两边边长之和 由此易见 从而表示以 和为边的三。

15、1.4 向量和矩阵范数, 向量范数 ( vector norms ),常用向量范数：,主要性质,性质1:-x=x,范数等价:设A 和B是R上任意两种范数，若存在常数 C1、C2 0 使得 ,则称 A 和B 等价。, 矩阵范数 ( matrix norms ),例5:,设A(aij)M. 定义,证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.,证明：设,从而,相容性,（1）矩阵范数与矩阵范数的相容:ABAB,（2）矩阵范数与向量范数,常用的算子范数：,由向量范数 | |p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数:,则,利用Cauchy 不等式可证（例6）。,A对称,所以2-范数亦称为谱范数。,定理1.4.4,证明：, 若不然，则 有非零解，。

16、第二章 范数理论2.1 向量范数 定义：若对任意 都有一个实数 与之对应，且满足：（1）非负性：当 只有且仅有当（2） 齐次性： 为任意数。,（3） 三角不等式：对任意 ， 都有,则称 为 上向量 的范数，简称向量范数。,集楔绞毁蜗褂嘘殿葱溪哟汝猖臆朝鹿猴执伪站裙奥黑肯忧驳缠墨牛傲寝馁向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,例： 在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,秉稽续铲仆密犯盘敲袜撤缚津淑敦望腿蓟既他经首硫战迷未燥碾嘻声航吸向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,证明： 都是 上的范数，并且还有,脱予愿当碎贱芹姨章痕岩宾杂穆湘甩。

17、1.4 向量和矩阵的范数,1.4.2 矩阵的范数及其性质,1.4.1 向量的范数及其性质,1.4 向量和矩阵的范数,学习目标：掌握向量范数矩阵范数等概念。,在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小。

18、矩阵与范数、谱半径、奇异值矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性 空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation） ，而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协 方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的 分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学。

19、第 6章 矩阵范数与矩阵函数 6.1 向量范数 1、 向量范数的定 义 2、 空间上向量范数 的 性 质之一 3、 空间 上的常用向 量范 数 分别称为 1-范数 、 2-范数 、 -范数和 -范数 。 4、 空间上范数的性质之二 5、 空间上范数的性质 之三 6.2 矩阵范数 1、 矩阵范 数的定 义 2、 矩阵范数可看作向量范数 ， 但具特殊性 对于某一矩阵范数系 ， 若相容性不等式关系 (6.2.1)成立 ， 则称该矩阵范数系为相容矩阵范数系 。 相容矩阵范数系的性质： 3、 矩阵的 1范数 、 2范数和 范数 1 , 2 2,12= Tr(H)12 max, 性 质： (1) 均为矩阵范数； (2) 1范数。