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1、第三章 矩阵分析及其应用3.1 矩阵序列与矩阵级数3.2 矩阵函数3.3 矩阵的微分与积分3.1 矩阵序列与矩阵级数1. 矩阵序列2. 矩阵级数1. 矩阵序列设有矩阵序列 A(k)=(aij(k)，若对所有的 i和 j，当 k趋于无穷时， aij(k)趋于 aij，则称 A(k)收敛 ，并称矩阵 A=(aij)是 A(k)的 极限 ，记做()lim .kk AA 若对某一组 i和 j， aij(k)不收敛，则称 A(k)发散 。定理 1：设 A(k) Cm n，设 |为任意广义矩阵范数， 则(1) A(k)趋于 0的充要条件是 |A(k)|趋于 0；(2) A(k)趋于 A的充要条件是 |A(

2、k)-A|趋于 0。性质 1：设 A(k)和 B(k)分别收敛到 A和 B，则( ) ( )li m ,kkk A B A B ( ) ( )li m .kkk A B A B 性质 2：设 A(k)收敛到 A，且 A(k)和 A都可逆，则 1( ) 1lim .kk AA 定义 : 设 A为方阵，且当 k趋于无穷时， Ak趋于 0，则称 A为 收敛矩阵 。定理 2(迭代法基本定理 )： A是收敛矩阵的充要条件是 r(A)r，则矩阵幂级数发散。0kkkcz0kkkcA3.2 矩阵函数1. 矩阵函数的概念2. 矩阵函数值的求法1. 矩阵函数的概念设一元函数 f(z)能展开成 z的幂级数：0( )

3、 , | | ,kkkf z c z z r则当 n阶方阵 A满足 r(A)r时，矩阵级数 收敛，其和称为矩阵函数，记为 0kkkcA0( ) .kkkf A c A (a) 待定系数法给定 A后，确定首 1多项式 g(l)，满足 g(A)=0。 (特征多项式或最小多项式均可 )2. 矩阵函数值的求法例 1 设设 f(l)=g(l)q(l)+r(l)，利用待定系数法确定 r(l)。则 f(A)=r(A) 。2 0 01 1 1 ,1 1 3A 求 eA和 etA。零化多项式 (l)的基本假设：带导数的插值问题：方法 1.基于 Sylvster插值公式的矩阵函数求值定理其中：由此有，基于 Sylvster插值公式的矩阵求值算法：方法 2： 基于广义 Newton插值公式的矩阵函数求值Taylor展开式：