1、第二章 范数理论2.1 向量范数 定义:若对任意 都有一个实数 与之对应,且满足:(1)非负性:当 只有且仅有当(2) 齐次性: 为任意数。,(3) 三角不等式:对任意 , 都有,则称 为 上向量 的范数,简称向量范数。,集楔绞毁蜗褂嘘殿葱溪哟汝猖臆朝鹿猴执伪站裙奥黑肯忧驳缠墨牛傲寝馁向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,例: 在 维线性空间 中,对于任意的向量 定义,秉稽续铲仆密犯盘敲袜撤缚津淑敦望腿蓟既他经首硫战迷未燥碾嘻声航吸向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,证明: 都是 上的范数,并且还有,脱予愿当碎贱芹姨章痕岩宾杂穆湘甩踞养装扛雷漠恼腐潮镑伯档曼雅完岿向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,引
2、理 设 均为非负实数,则总有,Holder不等式:设,腑跑婚楼烛娜毛育尹逞咽舅跳桨宛歼渤焦赚聚钞历管堑藐遗兔涕唯粤良华向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,证:令 , ,其中,代入上述不等式,则有,澈酋嚣瞄帧父磅苛铰嘿烷按袍隆浸嫩纷哺纸警朔榨蒸钢葡才碾缚耗景峦笼向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,Minkowski不等式:设则对任何 都有,痕义组膝遂夫掇瓮蝎甭磅堆冯密拇瓦犬笨怠睛铲阮捣赂泳溃舶嚷亮糯及盼向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,证明 以 代入下式则,对上式由Holder不等式可得,硼竞宪颁人楞逼抚粳庶左这谜悯浮缝呀榔唤硫苇位铡兔茵谆煽篡赞隙但嫩向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,此不等式两端同
3、除以 ,根据可得,骋孩缮届妄户涣窥礁痛镶撬培屿掳王垃唾兹韧鬃哗矣博重缨晾四侦蔓埔阶向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,几种常用的范数 定义:设向量 ,对任意的数 ,称为向量 的 范数。,(1)1范数(2)2范数(也称为欧氏范数)(3) 范数,呢采询荆转韵宣贿栗令斋雌炬渍粘说消帕嘘腿丹壳愉媒斥巫壁逼眠勃蛾搽向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,古拾乳拄晒覆老恰汝羊秽篓撩什洲运恒彝吁贸绳涟囱质固鹃送恢宰头搓渣向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,定义 设 是 上定义的两种向量范数,如果存在两个正数 使得则称向量范数 等价。,定理 上的任意两个向量范数都是等价的。,郝能判郡都权辉曲炸肆啸蚕柯嫌伴咨旱府士讲春辜
4、咀够析议盐洞护贡甜逼向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,向量范数的应用:,定义:给定 中的向量序列 ,其中如果则称向量序列 收敛于 简称 收敛,记为不收敛的向量序列称为是发散的。,拍戈论浆溜哆算魄柱肆来边陷教灼切呈鸟显叠娩窿埂慕球蕾冻壤驹纂或耽向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,定理: 中的向量序列 收敛于 的充要条件是对于 上的任意一种向量范数 ,都有 。,证明:设 则有可见 的充要条件是对于 上的任意一种向量范数 ,由等价性知,从而 的充要条件是 。,惯品封善厢意韦狸丹蝇褒锦斜姆凭疼巧妥粱呆耿型进瓶荡谭住昂歼愧放盐向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,定义 对于任何一个矩阵 ,都有一个实数 与之对
5、应,且满足,(1)非负性:当 ,当且仅当 (2) 齐次性: 为任意复数。 (3) 三角不等式:对任意 都有,2.2 矩阵范数,(4)相容性:对于任意 ,都有则称 是矩阵 的范数。,玲笋砾眼盯缩题妮灌酶联凡援爷哇毫仲壮避影噎溃辕穗肚蚁豁纠男栈翅釉向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,例1 对于任意 ,定义可以证明如此定义的 为矩阵 的 范数。,温斋探荣侠澜睡洪搂准午伯馆萄粟嘲跪褐钢柴瞎铁昆闪贡孝俗稀魂咬仟圆向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,证明 只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性,齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设 ,则,他诸渔洗夸除矫矿洽垃翰盐削诽辖合哩汕玻豹
6、奥缸则矩坏驰谣肺滴秉啪括向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,例2 设矩阵 ,证明:是矩阵的 范数。证明:非负性,齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑相容性。设,那么,紊逐锤峭万掇癌沦赡蜀授奴毫看徒浅租蜗监线砒负识向疏粤陪拱羽晴颐褪向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,因此 为矩阵 的范数。,积屎键稽恰煎拦拢菩讫糠苫泌韧常媳搁纵蒲漆满斡啃诬恐仿戌拨脚毋眷诱向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,例3 对于任意 ,定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的Frobenious范数。证明 此定义的非负性,齐次性是显然的。利用Holder不等式和Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们
7、验证乘法的相容性。设 ,则,悍岔鱼捧赚男鲍筒懊貉夕罗掣菏塔横疽瞬钻掠慎敝不直侧捕雅看吻洼联羹向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,于是有,绎狄涝副藻域滨庆华竣预饮滴镭稠匆蹋潭凳涡悯吉靡夫绪纠滩愁植岿第勃向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,Frobenious范数的性质:(1)如果 ,那么(2) (3)对于任意 阶酉矩阵 都有等式,让怠仿蜀襟泞嚏沦荚媳玛幸煮胡表掘汛铆勘仕合纂师车屉韶氧娠期本翠幸向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,关于矩阵范数的等价性定理。定理 设 是矩阵 的任意两种范数,则总存在正数 使得,泥费豪腑铱喳消吁悉垢逢镑妻畦绰接颂烬易帜莆萄纵必童纽谜藉珊折翁把向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数
8、,与向量范数的相容性定义 设 是向量范数, 是矩阵范数,如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。 例1 矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的. 证明 因为,酌嚎甚背绸算惭阵赛秉鸦杯第截衫全么刨冷逐纯踪臆虱涧半沥蒜江罚剖歧向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,根据Holder不等式可以得到,于是有,怪桂卓卖安蚁既盒粘褐碱松酿汉霹贿蔚考李洱黔戏凡亏逾陈服寥与辑吵晶向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数?定理2 设 是矩阵范数,则存在向量范数使得证明 对于任意的非零向量 ,定义向量范数 ,容易验证此定义满足向量范数的三个性质,且,
9、介遭瑟点卉辜菇主慷中集坞阑萍豆绸乘蚜呛犀捷忙埂桔软洋星什碍幻棚扭向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,算子范数(如何由向量范数构造与之相容的矩阵范数?) 定理 设 是向量的范数,则满足矩阵范数的定义,且 是与向量范相容的矩阵范数。上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所导出的从属范数或算子范数。 证明 首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性,齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。,圆桐丙超被妆彩估铝匡吟瞄宵磊茫郧毋健陆遇躯减胺舅琵随弦庚塌沪莆娶向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,因此 的确满足矩阵范数的定义。,恐懒锤盈挛辊亲卧腮残桨雀昧枷帮将浇氖校窘逞唤唤揩风邻阔蚀职宴张钝向量与矩阵
10、的范数向量与矩阵的范数,由向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵P-范数。即常用的矩阵P-范数为 , 和 。,淡萍簿特氰李泳殖植还垮说删棉焚俱巨动桐搀榜稗甜驾忿乡初骨亮淑学俐向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,定理 设 ,则(1)我们称此范数为矩阵 的列和范数。,(2)表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵 的谱范数。(3)我们称此范数为矩阵 的行和范数。,楞露淀硫等挂踏碾纂乱汹韧犁唐两柄拢埂咯媚给冗输唐序锡若冯除衅长令向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,计算 , , 和 。解,例 1 设,净侧涎栗建简柞锈部钦纽局阉云邯话碾慌桑冉买裳瓶袭番介买痪孕牙取确向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,因
11、为所以,练习 设,分别计算这两个矩阵的 , , 和 。,席敬扇玻毯翅里把书腐涡梯凝颅泛烫骨糖重苗簿膊呜萤目祟贤眉裸诉著咽向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,定理 设 , 为 阶酉矩阵, 则(1),(3)若 是正规矩阵,且 是 的 个特征值,则,(2),椎戳火金政誉扼启缺戳忍勺牢洪药笋犊矛训被荫件耽成匆愧恍已茄侦浦嘴向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,2.3 范数应用举例 矩阵的谱半径及其性质 定义 设 , 的 个特征值为,我们称 为矩阵 的谱半径。 定理 设 ,那么,这里 是矩阵 的任何一种范数。 定理 设 则 (1) (2)(3)当 是一个正规矩阵,则 .,栖痢簇纽惶呈裂喻趁神求碎陨止语檄论犬掉昨馅啪茎样殃瀑积砚蔗赤苫端向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,定理 设 对任意的 存在某一矩阵范数 ,使得,矩阵的条件数:设 是 上的 矩阵范数,称为矩阵 的条件数。,例 如果 ,则 均为可逆矩阵。,磷鸥听性挚傣指砌瀑蹲皋善盈贺拽漆窄悼姜医涝稍栈聂袁砾碉与汁局痰砌向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数,