1、1.4 向量和矩阵范数, 向量范数 ( vector norms ),常用向量范数：,主要性质,性质1:-x=x,范数等价:设A 和B是R上任意两种范数，若存在常数 C1、C2 0 使得 ,则称 A 和B 等价。, 矩阵范数 ( matrix norms ),例5:,设A(aij)M. 定义,证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.,证明：设,从而,相容性,（1）矩阵范数与矩阵范数的相容:ABAB,（2）矩阵范数与向量范数,常用的算子范数：,由向量范数 | |p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数:,则,利用Cauchy 不等式可证（例6）。,A对称,所以2-范数亦称为谱范数。,定理1
2、.4.4,证明：, 若不然，则 有非零解，即存在非零向量 使得,1.5 线性方程组的性态（误差分析） ( Error Analysis for Linear system of Equations ),思考:求解 时, A 和 的误差对解 有何影响？, 设 A 精确， 有误差 ，得到的解为 ，即,绝对误差放大因子,又,相对误差放大因子, 设 精确，A有误差 ，得到的解为 ，即,(只要 A充分小，使得,常用条件数有：,cond (A)2,特别地，若 A 对称，则,注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的状态数!,定义2: 设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果 cond(A)越大,就称这个方程组越病态.反之,cond(A) 越小,就称这个方程组越良态.,
