矩阵的乘法运算

1、,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,矩阵线性运算的性质：,定理1 设A, B, C, O是同型矩阵, k, l是数, 则,(1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB.,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第1章 矩阵,例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.,第1章 矩阵,第1章 矩阵,第。

2、MATLAB中的矩阵运算MATLAB与其它数学软件的不同之处就在于强大的矩阵运算功能，下面我们分别加以讨论。 向量及其运算 向量可以用冒号、z=x,y(见上面)、b=a(1:3,2)的形式生成，它也可以利用下面的个函数生成，即 （） linespace(a,b,n)生成n个元素的行向量，它的元素的(a,b)间线性等距分布。 （） logspace(a,b,n)生成n个元素行向量，其元素在(a,b)间对数等距分布。 向量的种基本数学运算是点积与叉积，其命令为： dot(a,b)-返回向量的点积； cross(a,b)-返回向量的叉积。 a=1 2 3;b=4 5 6;c=dot(a,b) c= 32 d=cross(a,b) d = -3 6 -3,向量。

3、3.1 矩阵的运算,一、几种特殊矩阵 二、矩阵的运算,第三章 矩 阵,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,称为对角矩阵 (或对角阵).,记作,(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,【注】不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,(5)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,称为A的负矩阵.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1. 两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,. 矩阵的加法,设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ,规定为,【注】 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 加法运算.,例如,由矩阵的加法和。

4、9.2矩阵的乘法运算,一、新课导入,思考问题： 记甲、乙、丙三位同学的语文平时、期中、期末 成绩为矩阵A，平时、期中、期末成绩的所占比例为矩阵B，这三位同学的语文总评成绩用矩阵C表示。,甲同学的语文总评成绩为,800.3+700.3+750.4=75,乙同学的语文总评成绩为,900.3+700.3+800.4=80,丙同学的语文总评成绩为,600.3+800.3+900.4=78,解：,我们还可以利用矩阵某种运算得到上述 总评成绩，这就是我们今天要学习的主题。,二、矩阵的乘法,如果,那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作C=AB。,矩阵A的第1行的行向量与矩阵B的第1列的列向量的数量积,矩。

5、第二节 矩阵的运算,矩阵的线性运算,矩阵的乘法,矩阵的幂乘,矩阵的转置,方阵的行列式,共轭矩阵,1.加、减法,注意:只有当两个矩阵是同类型的矩阵时,才能进行加法运算,2.数乘,二 、矩阵与矩阵的乘法,一般地，有,A与B满足什么条 件时能够相乘？如何乘？,你记住 了吗？,解,1.4+0.(-1)+3.2+-1.1,1.1+0. 1+3.0+-1.3,1.0+0.3+3.1+-1.4,2.4+1.(-1)+0.2+2.1,1.1+1.2+0.0+2.3,2.0+1.3+0.1+2.4,2. 矩阵乘法的运算规律,矩阵的乘法满足以下规律,矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则的不同点,AB是A左乘B，BA是A右乘B。显然，AB能成立，BA不一定能成立,。

6、2.1 矩阵的运算,四、矩阵的转置,一、矩阵的加法,三、矩阵与矩阵相乘,二、矩阵的数量乘法,五、方阵的行列式,一、矩阵的加法,矩阵加法的定义设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij ) 即,提示,只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵才能进行加法运算,一、矩阵的加法,矩阵加法的定义设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij ) 即,矩阵的加法 设A(aij)和B(bij) 则规定AB(aijbij ),矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则(1) 交换律：ABBA (2) 结合律：(AB)CA(BC)(3) 零矩阵满足： AOA,。

7、5.2矩阵的运算,5.2.1矩阵的相等 5.2.2矩阵的加减法 5.2.3矩阵的数乘 5.2.4矩阵的乘法 5.2.5矩阵的转置,如果两个矩阵A,B的行数和列数分别相同，且它们对应位置上的元素也相等，即 （i=1,2，m；j=1,2，n），则称矩阵A，B相等，记作A=B,注：两个零矩阵 不是同一矩阵,5.2.1 矩阵的相等,如某药业公司有A、B两个仓库，三种包装规格的维生素C和维生素E的库存量分别如下：,A仓库两种药品的库存量为,100片/瓶 200片/瓶 300片/瓶,维生素C 维生素E,用矩阵表示为,5.2.2 矩阵的加减法,同样，B仓库两种药品的库存量用矩阵表示为,该公司维生素C和维生素E。

8、矩阵的乘法,案例1 矩阵乘法的定义 例题 练习1 练习2 小结 思考题与作业,内容要点,案例1,某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表,这四种产品的售价（单位：百元）及重量（单位： 千克）如下,问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量 分别是多少？,案例1,案 例 1,矩阵乘法的定义,2、定义,若,规定,其中,矩阵乘法的定义,注：,1）条件,左矩阵的列数等于右矩阵的行数,2）方法,3）结果,左行右列左矩阵的行数为乘积,的行数，右矩阵的列数为乘积的列数.,例如,不可乘.,与,乘积一般不可以交换，,2阶矩阵，,为3阶矩阵，不相等；,3）,矩阵。

9、2.2 矩阵的运算,上页,下页,返回,首页,四、矩阵的转置,五、矩阵的行列式,一、矩阵的加法,二、矩阵的数乘,三、矩阵的乘法,矩阵的乘法的定义、,矩阵的转置及其性质,矩阵加法与矩阵数乘的性质,矩阵的乘法的性质,结束,铃,一、矩阵的加法,下页,1.定义2.3 设A与B为两个mn矩阵,A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和，记为AB。即,例1设,A+B=,3+1 5+3 7+2 2+0,2+2 0+1 4+5 3+7,0+0 1+6 2+4 3+8,4 8 9 2,4 1 9 10,0 7 6 11,。,下页,矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B= (aij+bij)mn。,2. 运算规律,注意：,只有当两个矩阵是同。

10、矩阵的定义,方阵列矩阵行矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵,同型矩阵和相等矩阵,零矩阵单位矩阵,交换律,结合律,矩阵相加,运算规律,数乘矩阵,矩阵相乘,运算规律,n阶方阵的幂,方阵的运算,方阵的行列式,运算规律,转置矩阵,一些特殊的矩阵,对称矩阵,反对称矩阵,幂等矩阵,正交矩阵,对角矩阵,对合矩阵,上三角矩阵,主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵,下三角矩阵,主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵,伴随矩阵,定义,逆矩阵,。

11、1、 运算定义 ,2,1 njmiba ijij ij ijA a B b与则称 矩阵 A与矩阵 B相等 ，记作 BA1、 运算定义 AA( 2 ) ( ) ( ) ;AA ( 3 ) ( ) ;A A A ( 4 ) ( ) .A B A B 矩阵数乘的运算规律 矩阵乘法 把此乘积记作 是一个 s n矩阵 , 那么规定矩阵 A与矩阵 B的 乘积是一个 m n 矩阵 C A B其中 ( ),ijCc设 是一个 m s矩阵 , ()ijAa( ),ijBb1 1 2 21sij i j i j is s j ik kjkc a b a b a b a b ( 1 , 2 , ; 1 , 2 , , )i m j n例如 2222 63422142C22 16 328 16?求 AB. 1 0 1 21 1 3 00 5 1 4A例 若 0 。

12、1,1.2 矩阵的运算,一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置 五、矩阵的逆,第一章 矩阵,2,、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为,3,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.,例1,4,2、 矩阵加法的运算规律,称为矩阵 的负矩阵,5,1、定义,二、数与矩阵相乘,6,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,7,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵的乘法,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵。

13、佛山职业技术学院,2,佛山职业技术学院,3,7.1 矩阵的概念,重要概念 矩阵、方阵的行列式,G (x) =,重要概念和学习目标,学习目标 1、理解矩阵和方阵的行列式的概念，掌握单位矩阵、行矩阵、列矩阵等特殊矩阵的概念；2、掌握矩阵的转置、加减法、数乘矩阵和矩阵的乘法运算。,佛山职业技术学院,4,7.1 矩阵的概念,线性性简介二,线性系描述直线和平面的基础，是我们所研究的最简单的代数系统。,线性方程 向量空间 线性影射和矩阵,佛山职业技术学院,5,7.1 矩阵的概念,前面，我们将线性方程组的解用空间中处于直线和平面上的点作了几何上的解释：,为。

14、矩阵乘法的概念,回忆我们学过的变换所对应的矩阵.,恒等,伸压,反射,旋转,投影,切变,复习回顾,二阶矩阵与平面列向量的乘法法则为:,复习回顾,阅读教材P36,规定：矩阵乘法的法则是:,建构数学,矩阵的乘法的几何意义：,矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.,建构数学,当连续对向量实施n(nN*)次变换TM时，记作：Mn=MM M,例1、(1)已知A=,B=,(2)已知A=,B=,(3)已知A=,B=,C=,计算AB，AC;,计算AB;,计算AB，BA;,数学运用,1、在矩阵的乘法中， 一般情况下，AB BA,2、在矩阵乘法中，AB=AC且A0 B=C,在矩阵的乘法中。

15、矩阵乘法的性质,我们知道实数乘法运算满足一定的运算律。即对实数a ，b ,c 有结合律：（ab）c=a（bc）； 交换律：ab=ba ;削去律: 设a0 ,如果ab =ac ,那么b =c; 如果ba =ca ,那么 b =c,探究 类比实数乘法的运算律，二阶矩阵的乘法是否 也满足某些运算律？,首先考察矩阵的 乘法是否满足结合律。 例如 ，对于矩阵A = 1 1 0 1 ，B= 1 1 2 3 ,C= 0 1 1 0 ,可以得到（AB）C = 1 2 2 3 0 1 1 0 = 2 1 3 2 A（BC） = 1 1 0 1 1 1 3 2 = 2 1 3 2 于是 有 （AB）C = A（BC）,一般地，设二阶矩阵 A= 1 1 1 1 B= 2 2 2 2 C= 3 3 3 3 一方面 AB = 1 1 1。

16、矩阵的加法,主要内容,数与矩阵相乘,矩阵的乘法,方阵的幂,第二节 矩阵的运算,矩阵的转置,方阵的行列式,共轭矩阵,矩阵矩阵乘积的意义,1. 定义定义 2 设 A (aij)mn 与 B (bij)mn 是,A - B = A + (-B) .,阵.,显然有 A + (-A) = O.,由此可定义矩阵的差为,若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩,矩阵 A 与矩阵 B 的和，记为 AB,两个同型矩阵，称 mn 矩阵 C (aij + bij)mn 为,一、矩阵的加法,2. 运算规律设 A, B, C 为同型矩阵, 则(1) A + B = B + A ( 加法交换律) ;(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律);(3) A + O = O + A =。

17、 AB C A BC k AB kA B A kB A B C AB AC B C A BA CA 四 矩阵乘法的 运算 规律 1 1 矩阵及其运算 证明 AB C A BC sppnnm CBA 设证 p k kj n l lkilij cbaCAB 1 1 p k n l kjlkil cba 1 1 11 pn i l l k k jij lk A B C a b c n l p k kjl。

18、1,第二讲 矩阵的乘法运算,第二章 矩阵及其运算,2,并把此乘积记作,一、定义,例如:,3,例如,不存在.,注意： 要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行,数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的,第j列对应元素乘积之和。,4,注意：,1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.,2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的 乘积才有意义.,3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.,5,又如,6,解,解,7,设,例,5,8,此处,BC,AC,、,。