卷积积分

1、常 州 工 学 院 学 报眼 无卷 积 积 分 的 基 本 计 算 方 法王 晓 平南 京 邮 电 学 院 应 用 数 理 系 , 江 苏 南 京摘 要 确 定 卷 积 积 分 的 积 分 限 和 在 相 应 区 间 上 的 被 积 函 数 是 计 算 卷 积 积 分 的 两 个 难 点 。 利 用卷 积 的 定 义 可 以 解 决 比 较 简 单 的 函 数 卷 积 问 题 , 图 解 法 则 适 用 于 求 分 段 函 数 的 卷 积 。 如 果 参 与 卷积 运 算 的 函 数 含 冲 激 函 数 或 它 的 导 数 和 积 分 , 那 么 用 算 子 法 并 结 合 卷 积 的 基 本 特 性 计 算 则 较 方 便 。关 键 词 卷 积 积 分 。

2、4-6卷积积分及零状态响应的卷积计算法,一 卷积积分的导出,fa(t),1,2,3,n,用n个矩形脉冲来近似代替连续函数f(t),t,Convolution integral,用冲击函数来近似代替矩形脉冲,用n个冲击函数分别单独作用产生的rzS(t)之和来近似代替f(t)产生的rzS(t),1,第K+1个,fa(t),第K+1个,n,1,2,3,用n个冲击函数来近似代替f(t),用冲击函数来近似代替矩形脉冲,冲击函数的强度等于脉冲的面积,t,2,NzS,NzS,NzS,NzS,3,4 取极限：,卷乘,二、卷积积分的性质：交换律、分配律等,1 交换律,2 分配律,注意,例1 求卷积,解,三 卷积积分的计算举例,例2 设图示RC串联电路中电。

3、2.3 卷积积分,信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,一、信号的时域分解与卷积积分,1 .信号的时域分解,(1) 预备知识,问 f1(t) = ? p(t),直观看出,2.3 卷积积分,(2) 任意信号分解,“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t),“1”号脉冲高度f() ,宽度为，用p(t - )表示为：f() p(t - ),“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，用p(t +)表示为：,f ( - ) p(t + ),2.3 卷积积分,2 .任意信号作用下的零状态响应,根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t -),h(t -),f ()(t -),由齐次性：,f () h(t -),由叠。

4、2.3 卷积积分,信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法,一、信号的时域分解与卷积积分,1信号的时域分解,预备知识,问 f1(t) = ? p(t),直观看出,任意信号分解,“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t),“1”号脉冲高度f() ,宽度为，用p(t - )表示为：f() p(t - ),“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，用p(t +)表示为： f ( - ) p(t + ),2 .任意信号作用下的零状态响应,根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t -),h(t -),f ()(t -),由齐次性：,f () h(t -),由叠加性：,f (t),yzs(t),卷积积分,3 .卷积积分的定义,已知定义在区间（。

5、 2 3卷积积分 信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法 一 信号的时域分解与卷积积分 1 信号的时域分解 预备知识 问f1 t p t 直观看出 任意信号分解 0 号脉冲高度f 0 宽度为 用p t 表示为 f 0 p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 2 任意信号作用下的零状态响应 根据h t 的定义 t h t 。

6、中国西部科技 2008年6月(中旬)第07卷第17期总第142期基于mr。AB的卷积积分金波(长江大学电子信息学院，湖北荆州43402；3)摘要：本文介绍了卷积积分的数值计算、符号计算和GuI程序设计的方法和技，亍。给出了卷积积分的数值计算通用函数CSCONV()、符号计算的通用函数CSCONVS()，通过实例计算，验证了这些函数的有效性。展示了MATLAB在卷积积分计算方面的优点。关键词：卷积积分；MATLAB；程序设计l 引言在线性时不变连续系统中，利用系统的冲激响应和叠加原理来求系统对任意激励信号作用时的零状态响应，这就是卷积方法的原理。因此，在时。

7、f t 的波形如图，用图解法求 tftSf t 1 0 2 t 解：1. 换元： 2. 反褶：f f 1 1 0 2 2 0 3. 移位： 4. 相乘：f t 1t 0 时，st ftft 01 f t 1 f t 2 0 t t 2 t 。

8、例：求如图函数的卷积。,如图的函数可以表示为解析式：,t,-2,2,t,2,0,0 2,-2,2,2,-2,0,0,1、 当 时， 当 时，所以此时 f(t)=0,2,3,4,-2,0,4,t,f(t),3,。

9、2.8 卷积的性质,一代数性质,1交换律,2分配律,3结合律,系统并联运算,系统级联运算,系统并联,系统并联，框图表示：,结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于,各子系统冲激响应之和。,返回,系统级联,系统级联，框图表示：,结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。,二时移性质,设,则,A B,C D,A+C B+D,一般规律：,上限,下限,三微分积分性质,g(t)的积分,积分性质,微分性质：,推广：,三微分积分性质,微分性质积分性质联合使用,对于卷积很方便，特别是下面这个公式。,微分 n 次， 积分 m 次,m=n, 微分次数积分次数,。

10、167;2.4.4 卷积的性质,一代数性质,1交换律,2分配律,3结合律,系统并联运算,系统级联运算,系统并联,系统并联，框图表示：,结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。该结论可以推广到n个子系统并联的情况。,返回。

11、2.7 卷积,一利用卷积求系统的零状态响应,任意信号 e ( t ) 可表示为冲激序列之和,这就是系统的零状态响应。,若把它作用于冲激响应为h(t)的LTIS，则响应为,二卷积定义（Convolution）,主要利用卷积来求解系统的零状态响应。,设有两个 函数 ，积分,称为 的卷积积分，简称卷积，记为,二卷积定义（Convolution）,常见函数的卷积：,三卷积的计算,卷积积分中积分限的确定是非常关键的。,借助于阶跃函数 u (t) 确定积分限 利用图解说明确定积分限,用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最。

12、2.3 卷积积分,本节要点与难点,卷积定义 卷积的图解法 用卷积求系统零状态响应,一、信号的时域分解与卷积积分,1信号时域分解,直观看出,(1)矩形窄脉冲,对应窄脉冲可表示为,f(t)是不同时刻、不同强度的冲激函数之和。,(2) f(t) 分解为矩形窄脉冲合成,2 .任意信号作用下的零状态响应,据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t -),h(t ),f ()(t -),由齐次性：,f () h(t -),由叠加性：,= f (t),= yzs(t),卷积积分,3 .卷积积分,函数 f1(t)和 f2(t)的区间为（ ,），,为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积。,注意：积分是在虚设变量下进行，为积分变。

13、 2 3卷积积分 信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法 一 信号的时域分解与卷积积分 1 信号的时域分解 预备知识 问f1 t p t 直观看出 任意信号分解 0 号脉冲高度f 0 宽度为 用p t 表示为 f 0 p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 2 任意信号作用下的零状态响应 根据h t 的定义 t h t 。

14、复习,1、冲激响应的概念及求解2、阶跃响应的概念及求解,2.3 卷积积分,卷积方法在本书中占有重要地位，这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和（积分），利用冲激响应，求解LTI系统对任意激励的零状态响应。 一、卷积积分,在前面介绍 时,我们定义了这样一个强度为1的窄脉冲 。其作用于系统的零状态响应为,把其分解为一系列宽度为 的窄脉冲，其第 k 个窄脉冲发生在 时刻，强度为:,- 0 2 k t,- 0 2 k t,二、卷积的图示,第一步，画出 与 波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到 和 的波形。 第二步，将 波形以纵轴为中。

15、2.4.1 卷积,1定义与物理意义历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔卷积与反卷积互逆,i)卷积,ii)反卷积1：系统辨识,iii)反卷积2：信号检测,卷积定义,定义：,设有两个 函数 ，积分,称为 的卷积积分，简称卷积，记为,卷积定义,利用卷积求系统的零状态响应,任意信号 可表示为冲激信号加权和,这就是系统的零状态响应。,若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为,物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的,冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：,卷积的计算,可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。,。

16、,2.5 卷积积分的运算和图解,1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量；,2）把其中一个信号翻转、平移；,3）将x(t) 与h(t- t)相乘；对乘积后的图形积分。,例6,1.,重合面积为零:,2.6 卷积积分的性质,1、卷积的代数运算：,A、交换律：,B、结合律：,对于级联系统：,结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的卷积 （2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。,C、分配律：,对于并联系统：,结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的和,2、卷积的微积分性质,对于任意函数x(t)，用 表示其。

17、2.7 卷积,一利用卷积求系统的零状态响应,任意信号 e ( t ) 可表示为冲激序列之和,这就是系统的零状态响应。,若把它作用于冲激响应为h(t)的LTIS，则响应为,二卷积定义（Convolution）,主要利用卷积来求解系统的零状态响应。,设有两个 函数 ，积分,称为 的卷积积分，简称卷积，记为,二卷积定义（Convolution）,常见函数的卷积：,三卷积的计算,卷积积分中积分限的确定是非常关键的。,借助于阶跃函数 u (t) 确定积分限 利用图解说明确定积分限,用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最。

18、复 习,1、任意连续时间信号的卷积及其零 状态响应2、卷积积分的图解法,2.4 卷积积分的性质,卷积代数运算 与冲激函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质 卷积的时移特性 相关函数,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。,一、卷积代数运算,1交换律,2分配律,3结合律,系统并联运算,系统级联运算,证明,例1：P67,证明交换律,卷积结果与交换两函数的次序无关。,一般选比较简单函数进行反转和平移。,系统并联,系统并联，框图表示：,结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于,各子系统冲激响应之。

19、5.4 电路系统对任意激励的零状态响应卷积积分,1.卷积积分定理：任一LTIS对任意激励信号f(t)的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。即:,5.4.1 卷积积分定理：,0,P,n,(,t,),t,L,T,I,S,t,h,n,(,t,),证明：因为任意信号f(t)可以分解为宽度为 的无穷多个窄脉冲信号的迭加,任意信号：,任意信号产生的零状态响应：,响应迭加：,当 时，,因为对于一切物理可实现系统（因果系统），t0时，h(t)=0，而由于 时， 。所以积分上限应为t；又如果输入的信号是单边 的，则积分下限应为t0（或0）。,2.物理意义： LTIS在任意时刻t对任。

20、第二章 线性时不变系统（LTI：Linear Time Invarient),重点：理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质；掌握LTI系统的性质；难点：深刻理解卷积积分与卷积和的概念；,2.1 线性时不变连续系统的时域解法,连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程来描述系统。,微分方程,其有无数个解；若已知初始条件：,其解唯一。,微分方程的经典解。,齐次解是满足,的解,若n个特征值各不相同：,若特征值中有1是r重根，而其余的根都为单数，则,ci、cj的值由初始条件确定。,齐次解,特解,特解的函数形式与激励函数形式有关。,微分方程的特解形式：,。