1、5.4 电路系统对任意激励的零状态响应卷积积分,1.卷积积分定理：任一LTIS对任意激励信号f(t)的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。即:,5.4.1 卷积积分定理：,0,P,n,(,t,),t,L,T,I,S,t,h,n,(,t,),证明：因为任意信号f(t)可以分解为宽度为 的无穷多个窄脉冲信号的迭加,任意信号：,任意信号产生的零状态响应：,响应迭加：,当 时，,因为对于一切物理可实现系统（因果系统），t0时，h(t)=0，而由于 时， 。所以积分上限应为t；又如果输入的信号是单边 的，则积分下限应为t0（或0）。,2.物理意义： LTIS在任意时刻t对任意激励的
2、零状态响应等于从激励函数开始作用的时刻（ ）到指定时刻（ ）区间内，无穷多个幅度不同，连续出现的冲击响应的总和。,为 ， 就是输入冲击信号的瞬间，而t可以理解为观察这个输入作用引起响应的瞬间。因为 时刻作用的信号，到t时刻才观察到输出，这之间时间差值即为 。即 可以理解电路对输入作用的记忆时间。 因为 不能为负，所以积分上限只能取到t，而不能到。其实电路上的这种卷积积分只不过是数学上卷积的特例，并赋予物理意义。,2.利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法： 方法步骤: （1）求出系统的冲击响应h(t) （2）代公式进行卷积积分，或利用卷积性质，求得yzs(t),解: 1.（1）求得电路的冲击响
3、应：因为电路KCL：,例1：已知图示电路，（1）输入为 A电流，求响应 iL(t)。（2）输入为 A电流，求响应iL(t),2.,（2）卷积求yzs(t),例2. 已知一LTI网络，冲击响应为 ，求当输入 信号为矩形波时的零状态响应。,（2）求U(t-1)激励时的响应： 根据延时不变性可得：,解：因为输入信号f(t)=U(t)-U(t-1),（1）当U(t)激励时，其响应为yzs1(t),（3）求f(t)激励时的响应： 根据LTIS的线性性：,3.LTIS的完全响应： 利用卷积求得系统零状态响应，再与系统零输入响应叠加，即求得系统的完全响应为： （设系统特征根互异）,4.卷积的图形解法(1).
4、 卷积的图形解释： 卷积实际上是一种数学工具，我们可以用图解法来清楚的说明其含义。,设：,（1）褶叠： （将横轴t ， 对褶过去）（2）平移（3）相乘积分,(2). 卷积积分积分限的确定原则： 若函数 的非零值左边界（即函数不为0的最小 值）分别为tl1和tl2，其非零值右边界（即最大的 值）分别为tr1和tr2，则积分下限为maxtl1,tl2，上限为mintr1,tr2。即积分下限取它们左边界的最大者，而积分上限取它们右边界中的最小者。,(a)(b)(c)(d)(e),其余,例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。解： （1）写出表达式：,t0,（2）计算卷积积分：,.
5、t0， 无重叠。.0ta，tl1=0, tl2=-,选tr1=a, tr2=t,. ta ，tl1=0, tl2=-，tr1=a, tr2=t 选tl1=0, tr=0,一.卷积代数1.交换律：,5.4.3 卷积的性质,证明：,3.结合律：,证明：,2.分配律：,二.卷积的微分和积分：1.微分：,证明：,同理可证第二等式,2.积分,证明：,3. 高阶导数和多重积分设：,则有：,推论：,例：,三、与冲击函数或阶跃函数的卷积1、与冲击函数的卷积：,证明：,或写为,抽样性,推论：,2、与阶跃信号的卷积：,证明：,例1、计算,解：原式,例2、图示系统是由几个子系统组成的，各个子系统的冲击响应分别为： 若激励 试求总系统的零状态响应,解（1）求h(t):对因果系统而言，串联系统的冲击响应等于各串联子系统的冲击响应卷积（结合律）；并联系统的冲击响应等于各并联子系统的冲击响应相加（分配律）,作业:1、2、3、4、5、6、10、12、13、14、15、16、17,
