高等数学微分中值定理

1、高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中 ，一定是开区间.(,)ab全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明： ()0nf基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例 1. 在 可导， ， ，(),fxCab(,)()0fab()02abf证明：存在 ，使得 .分析：由 ，。

2、第三章微分中值定理与导数的应用,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,应注意的问题如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论有可能不成立,罗尔定理 如果函数f(x)满足(1)在闭区间a, b上连续 (2)在开区间(a, b)内可导 (3)在区间端点处的函数值相等 即f(a)f(b) 那么在(a, b)内至少有一点(ab) 使得f ()0,下页,例1 不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数 说明方程f (x)0有几个实根 并指出它们所在的区间,f(1)f(2)f(3)0 f(x)在1 2 2 3上满足罗尔定理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点1 使 f (1)0 1是 f (x)0的一个实根 在(2 3)。

3、考研数学高等数学强化资料-中值定理证明点这里，看更多数学资料一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-中值定理证明知识点讲解和习题 】 ，同时中公考研网首发 2017 考研信息， 2017 考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为 2017 考研学子提供一站式考研辅导服务。模块八 中值定理证明 教学规划【教学目标】1、理解各类中值定理的基本内容，掌握必要的定理证明2、总结中值定理部分基本的命题方向和特点，训练针对性、系统化的证明思路【主要内容】1、基本定理：闭区间上连续函数的性。

4、罗尔 定理,拉格朗日 中值定理,柯西 中值定理,第三章 中值定理及导数的应用,(1) 罗尔中值定理,1.中值定理,(2) 拉格朗日中值定理,推论1 如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零， 则f(x)在区间(a,b)内是一个常数.,推论2 如果在区间(a,b)内, 则 f(x)=g(x)+C（C为常数）.,(3) 柯西(Cauchy)中值定理,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值定理，即拉氏定理是柯西中值定理的特殊情况。,2、罗必塔法则,定义 这种在一定条件。

5、教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-1 页 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理目的要求 方程根的存在及不等式证明重点难点 1 罗尔及拉格朗日中值定理2 方程根的存在及不等式证明复习3 分钟第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理一、 罗尔定理例 1 费马定理： 在 内可导，且 ，有)(xf),0U),(0xU则有()(0fxf注：称使 的点为驻点。例 2 罗尔定理：如果函数 满足)(xf（1） 在闭区间a, b上连续；（2） 在开区间（a, b）上可导；（3） .)(ff则在（a, b）内至少有一点 , 使 .)ba0)(f几。

6、第四章 中值定理, 1. 罗尔定理、拉格朗日定理与柯西定理,1. 罗尔定理,罗尔定理的几何意义，如下图,注意：定理中的条件是充分条件,2. 拉格朗日定理,定理证明中，也可作辅助函数,易验证F(x)满足罗尔定理的条件,当 f (a)= f (b) 时，拉格日定理即为罗尔定理。 通常称罗尔定理为拉格朗日定理的特例。,拉格朗日定理的几何意义，如下图,推论：若函数 f (x)在a,b上导数处处为零，则 f (x) 常数,3. 柯西定理,易验证，F(x)在a,b上满足罗尔定理的条件。,如果取 g(x) = x，则柯西定理即为拉格朗日定理，通常称柯西定理为拉格朗日定理的推广。,运用中。

7、,第五讲(一元微分学之二)微分中值定理 及其应用,方法指导1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系,第二章第二节微分中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,(1) 几个中值定理的关系,(2) 证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如, 证明拉格朗日定理 :,要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .,方法1. 直观分析,由图可知 , 设辅助函数,(C 为任意常数 ),方法2. 逆向分析,要证,即证,原函数法,辅助函数,同样, 柯西中值定理要证,即证,原函数法,设,(3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要.,可适当减弱. (如p85例13),因此,设,在,内可导,且,则至少。

8、3.1 中值定理,洛尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理,第三章 微分中值定理,引理 设函数 f (x)在a , b上有定义，并且在点 x0(a , b)取到最值， f (x)在点x0 可导，则 f (x0 )=0。,证: 设 f(x0)值最大,则,证毕,费马,一、罗尔(Rolle)定理 P128,几何解释:,A,B,罗尔(Rolle)定理 如果函数 f(x)满足：,（1）在闭区间a, b上连续；,（2）在开区间(a, b)内可导；,（3）在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b),那么在(a, b) 内至少存在一点( ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即： f ()= 0.,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,证。

9、 - 1 -习题 4-11验证下列各题的正确性，并求满足结论的 的值：(1) 验证函数 在区间 上满足罗尔定理；()cos2fx,4(2) 验证函数 在 上满足拉格朗日中值定理；,9(3) 验证函数 在区间 上满足柯西中值定理 . 23)(1)(xgf,1解：(1) 显然 在 上连续，在 内可导，且cosf4(,)4，()(04ff又 ，可见在 内，存在一点 使2sinxx (,)400().f(2) 在 上连续， ，即知 在 内可导，),91()2fx ()fx(4,9)由 得 ，(94152fx54即在 内存在 使拉格朗日中值公式成立.,)(3) 显然函数 在区间 上连续，在开区间 内可导，且23)(,1)(xgf,1 )2,1(于是 满足柯西中值定理的条件.。

10、2019/4/26,1,作业,P88 习题4.15(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 综合题: 4. 5.,复习：P8088 预习：P8995,2019/4/26,2,应用导数研究函数性态,局部性态 未定型极限函数的局部近似,整体性态 在某个区间上函数的单调性、函数的极值函数的凸性、渐近性、图形,2019/4/26,3,微分中值定理，包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理,微分中值定理是微分学的理论基础。是 利用导数研究函数性质的理论依据。,微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间 内至少有一点，使所研究的函数在该点具有 某种微分。

11、259第八讲 微分与积分中值定理和函数极值8.1 微分与积分中值定理一、知识结构1、微分中值定理(1) 罗尔（Rolle）中值定理若函数 满足下列条件:)(xf(i) 在闭区间 上连续;(ii) 在开区间 内可导;(iii )ba,)(xfba,则在 内至少存在一点 ,使得 .bfa0(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数 满足下列条件:)(xf(i) 在闭区间 上连续;(ii) 在开区间 内可导,则在ba,)(xfba内至少存在一点 ,使得 .ba,bf(3)柯西中值(Cauchy)定理若函数 和 满足下列条件:)(xfg(i) 和 在闭区间 上连续; (ii) 和 在开区间ba,xf)(g内可导,ba(iii) 和 不同时为零; (iv) , xf)(g 。

12、4.1微分中值定理 单元教学设计一、教案头单元教学学时 8单元标题：微分中值定理在整体设计中的位置 第 23-26 次授课班级 上课地点能力目标 知识目标 素质目标教学目标能够理解和掌握罗尔定理能够掌握拉格朗日定理并证明相关问题能够掌握导数判断函数的单调性能够掌握柯西中值定理及洛比达法则洛尔定理、拉格朗日定理单调性、柯西定理、洛比达法则深刻思维能力团结合作能力语言表达能力能力训练任务及案例任务 1 罗尔定理 任务 2 拉格朗日定理 任务 3 单调性 任务 4 柯西定理与洛比达法则案例 1 求 的单调区间123xy案例 2 讨论 的单调性-xe。

13、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最。

14、第五章 微分中值定理 一 罗尔 Rolle 中值定理 1 费马 Fermat 引理 设在点取得极值 且存在则 0 解析 几何意义 曲线在极值点处的切线是平行于轴的 2罗尔 Rolle 中值定理 函数在闭区间上连续 在开区间内可导 每一点都具有导数 并且在闭区间的端点函数值相等 即 那么在开区间内至少有一点使得 解析 该定理是奠定一系列中值定理的基础 此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导。

15、,0.1 函数的极值,问题：是不是所有的极值点都是驻点？,0.2费马定理,一、罗尔定理,几何解释:,证,注意:若罗尔定理的三个条件i、 闭区间上连续；ii、 开区间内可导；iii、两端点函数值相等是定理成立充分条件；,结论：存在导数为0的点,例1、设函数,在,上连续，在,内可导，且,证明：在,内至少存在一点,，使得,证明：,构造辅助函数,在,上连续，在,内可导，且,由罗尔定理，在,内至少存在一点,使得,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函。

16、微分中值定理与导数应用一选择题1. 设函数 在 上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔sinfx0,中值定理的结论中的 A. B. C. 23D. 42. 下列函数中在闭区间 上满足拉格朗日中值定理条件的是,1e A. B. C. xlnxlnx。

17、第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,第一节 微分中值定理,本节主要内容:,一、罗尔中值定理,定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点),引理的直观意义: 可导函数极值点处的切线平行于 x 轴.,定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间a,b上有定义，如果 （1）函数 f (x)在闭区间a，b上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即 f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a b，使得f ()=0 .,例如,定理的证明,罗尔。

18、2019年2月7日星期四,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2019年2月7日星期四,2,第三章 微分中值定理与导数的应用,第三节 洛必达法则,第二节 泰勒 ( Taylor )公式,第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,第五节 函数的极值与最大值、最小值,第一节 微分中值定理,第六节 函数图形的描绘,第七节 曲率,2019年2月7日星期四,3,第一节 微分中值定理,第三章,二、微分中值定理,一、函数的极值,三、小结与思考题,（The Mean Value Theorem）,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2019年2月7日星期四,4,一、函数的极值（E。

19、微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。一 极值概念：1 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数 在点 的某邻域内有定义，且在点 可导，若点 为f0x0x0x的极值点，则必有 罗尔中值定理：若函数 满足如下条件：f (0f f（i） 在闭区间a，b上连续；（ii） 在开区间（a，b）内可导；（iii）f f，)(bfaf则在（a，b）内至少存在一点 ，使得。

20、第三章微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理 一 函数的极值及其必要条件 定义1 则称为f x 的极大值 或 或极小值 或极小值点 称点为极大值点 为极大值 为极小值 定理1 设函数f x 在点处可导 则是f x 的 极值点的必要条件是。