1、教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-1 页 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理目的要求 方程根的存在及不等式证明重点难点 1 罗尔及拉格朗日中值定理2 方程根的存在及不等式证明复习3 分钟第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理一、 罗尔定理例 1 费马定理： 在 内可导，且 ，有)(xf),0U),(0xU则有()(0fxf注：称使 的点为驻点。例 2 罗尔定理：如果函数 满足)(xf（1） 在闭区间a, b上连续；（2） 在开区间（a, b）上可导；（3） .)(ff则在（a, b）内至少有一点 , 使 .)ba0)(f几
2、何解释:二、 拉格朗日中值定理1. 拉格朗日中值定理: 如果函数 满足)(xf（1） 在闭区间a, b上连续；（2） 在开区间（a, b）上可导.则在（a, b）内至少有一点 , 使等式)(ba)(aff成立.几何解释:注:1)当 时, 上式也成立.ba2)“ ”的记法: ,(这里 , 则 介于xxba, 10a,b 之间.)3) ffxf)()(教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-2 页 2. 定理:若函数 在开区间（a, b）上满足 , 则在闭区间a, b上)(xf 0)(xf(c 为常数).xf)42 分钟3. 举例例 1 证明当 时,不等式 成立.0xx
3、x)1ln(用拉格朗日中值法证明不等式的步骤:1 确定函数 的形式;2 确定区间端点.)f例 2 证明当 时,不等式nba成立.)()(11 banbn例 3 证明不等式 成立.rctrt(分别讨论等号与不等号成立时的情况)例 4 证明当 时,不等式 成立.1xex例 5 证明当 时,不等式 成立.0babaaln例 6 证明方程 只有正根.5x(讨论根的存在性和根的唯一性)三、 柯西中值定理柯西中值定理:如果函数 满足)(,xFf（1） 在闭区间a, b上连续；（2） 在开区间（a, b）上可导( ).0)(则在（a, b）内至少有一点 , 使等式(ba.)()(aFff42 分钟内容小结：
4、方程根的存在及不等式证明思考题：几个中值定理的关系.作业：P132 3,5,6,10,11,12备注：分钟教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-3 页 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第二节 洛必达法则目的要求 掌握未定式极限的求法重点难点 未定式极限的求法复习3 分钟第二节 洛必达法则一、未定式称为未定式.00;1;0二、洛必达法则1. 关于 型未定式定理 1:满足下列条件(1) ;0)(lim,0)(li( xFxfxaxa(2)在某个 (或无穷远点的某个邻域)内 存在,且o,U)(,xFf;0)(F(3) 存在,或为,)(lim)(xfxa则有 l
5、i)(Ffxa)(li)(fxa例 1.求 0sinl0bx注:1) “ ”可用“ ”来代替;)(mxal2)类似的可用二阶导数比的极限来求一阶导数比(未定式)的极限,即(未定式)= (未定式)= )lixFf )limxFf )(limxFf例 2.求 30snlimx2. 关于 型未定式与 型未定式类似,可得 型未定式求极限的定理.0教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-4 页 定理 2:满足下列条件(1) ;)(lim,)(lixFxf(2)在某个 内(或无穷远点的某个邻域) 存在;o,aU)(,xFf(3) 存在,或为,)(lixFf则有 )(limf)(
6、lif例 3.求 (n0)xli注:利用上述洛必达法则必须先确定是未定式,否则将导致错误.如 )0(sinlmbxax42 分钟3. 型未定式,也可通过 型或 型未定式00;1; 0来计算.例 4. ( 型未定式)lnim0xx例 5. ( 型未定式)ta(sec2注:对于 型未定式,是幂指函数型未定式,有其特殊的计算方法.所谓00;1幂指函数,即函数的形式为 的称为幂指函数.)(xf对于幂指函数型未定式采取的是取对数法.以下列例题为例给出取对数法.例 6. ( 型未定式)x0lim当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题会更简单(先化简).例 7. (先进行无穷小等价代换)xxs
7、intali20有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.例 8. xxilim42 分钟内容小结：洛比达法则;掌握未定式极限的求法教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-5 页 思考题： 能使用洛比达法则吗?xxsin1lm20作业：P137 1(1)(3)(5)(7)(9)(11)(13),3备注：分钟教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-6 页 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第三节 泰勒公式目的要求 了解泰勒展开公式重点难点 1几个特殊函数的泰勒展开2函数的泰勒展开复习3 分钟第三节 泰
8、勒公式泰勒公式即是用多项式近似代替函数一种方法.一、泰勒中值定理分析：对于函数 ，求一个 n 次多项式)(xf（*）nnn xaxaxap )()()(202010 使其在 点处函数值及一阶、二阶直至 n 阶导数与函数 对应相等，使得0x f曲线 与 在 点附近拟合的好一些（画图） ，即)(fy)(xn0； ； （*）00fxpn)(xfp )()(00xfpnn由上述两式可解得 )(!1;)(!21);();( 00010 fafaffa nn 令 ，则得泰勒中值定理。)(xRpxfnn泰勒中值定理: 如果函数 在含有 x0 的某个开区间(a,b)内具有直到 n+1 阶导数,)(f则对 ,有
9、)(bax )()(!1)(!21)() 0(2000 xRxfnxfxff n称它为泰勒公式，其中 介于 x 与 x0 之间的,)(10)1(nnfR数。 （称 为拉格朗日余项）)(xn二、麦克劳林公式在 的泰勒公式称为麦克劳林公式，即0 )()0(!1)0(!21)()( 2 xRfnxffxf n教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-7 页 其中 介于 x 与 x0 之间的数。,)()!1()1nnfxR注： 的选取可类似于前面讲的中值定理的选法，即 。 1,42 分钟三、几个重要函数的麦克劳林公式例 1 12)!(!1)( nxnx exef 例 2 （给
10、出）mxmef 21253 !)(!sin)( 例 3 （给出）1224 )!()!21co)( xmxxxf 四、举例例 4 按 的幂展开多项式)( 435)(234xxf例 5 应用麦克劳林公式，按 x 的幂展开函数 3)1()f例 6 求函数 按 的幂展开的带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式。xf)()4(42 分钟内容小结：泰勒展开;迈克劳林展开;几个特殊函数的迈克劳林展开.思考题：迈克劳林展开公式与迈克劳林展开级数的关系作业：P143 1,4,6备注：分钟教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-8 页 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第四节 函数
11、的单调性与曲线的凹凸性目的要求 掌握函数导数与函数本身性质的关系重点难点 1 函数单调性、凹凸性及拐点的判断法；2 不等式的证明。复习分钟第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性的判断画图分析：定理 1：设函数 在闭区间a, b 上连续，在开区间（ a, b）上可导，则)(xfy（1） 如果 ，则 在a, b 上单调增；0)(xf（2） 如果 ，则 在a, b 上单调降。)(,xfx注：闭区间a, b可换成无穷区间，上述定理仍然成立。例 1 判断 在0，2 上的单调性。ysin例 2 判断 的单调性。1xe例 3 判断 的单调性。32y注：单调区间的分界点：1 导数为零的点；2 导数
12、不存在的点。例 4 判断 的单调区间。3193xxy二、利用函数的单调性证明不等式分析：证明步骤：1 设 的形式；)(xf2 ；0a3 当 xa 时， ，所以 是单调增函数；)(xf)(xf4 =0,例 5 证明当 时， 成立1xx132例 6 证明当 时， 成立0例 7 证明当 时， 成立2x2tansi教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-9 页 提示：设 xxf2tansi)( 02cos1eco22 x例 8 证明当 时， 成立20x3tax例 9 证明当 时， 成立 （不讲）42提示： 两边取对数，即 2xxlnl设 ，则xfnl)( 0)14(ln2l
13、2)( f注：注意在何时利用拉格朗日定理或单调性证明不等式42 分钟三、曲线的凹凸与拐点 凹凸函数定义：（画图说明）凸函数： ；)2(2)(11xfxff凹函数： )()(11fff 判断法则定理：设函数 在闭区间a, b上连续，在开区间（a, b）上具有一阶和二)(xfy阶可导，那么（） 如果 ，则 在a, b 上图形是凸的；0)(,(f)(xf（） 如果 ，则 在a, b 上图形是凹的xbax注：闭区间a, b可换成无穷区间，上述定理仍然成立。例 10 判断 的凹凸性yln例 11 判断 的凹凸性3x 拐点拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点拐点的判断：二阶导数
14、为零的点；二阶导数不存在的点例 12 求曲线 的拐点1423xxy例 13 求曲线 的凹凸区间与拐点4教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-10 页 例 14 指出 是否有拐点4xy例 15 指出 的拐点342 分钟内容小结：函数单调性、凹凸性及拐点的判断法；不等式的证明。思考题：证明不等式时,若 怎么办?0)(xf作业：P151 1,3(1)(3),4(1)(3)(5),6备注：分钟教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-11 页 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第五节 函数的极值与最大值最小值目的要求 1 极值的判断；2
15、最值的求法。重点难点 极值的判断法则复习分钟第五节 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值定义：设函数 在 点的某个邻域内有定义，如果对于去心邻域)(xf0内的任意一点 x 都有 （ ）则称 点是函数的)(f)(0xff0极大值点（极小值点） ， 为极大值（极小值） 。 （画图说明）0x由前面讲的费马定理（若 存在，且 （ ） ） ，则)(f )(0xff )(0xff。0)(xf 定理定理（极值存在的必要条件）：若 存在，且在 点处取到极值，则)(0xf0x0)(xf（画图说明）定理（第一充要条件）：若函数 在某个去心邻域 内可导，且在该去)(xf )(0xU心邻域内的任意点 x
16、 满足（1） 时， ，而 时， ，则 点是极大值点；00)(f0)(f0（2） 时， ，而 时， ，则 点是极小值点；0x)(f0x)(f0x（3） 符号不变化，则 点不是极值点。)(f 0（画图说明）注：由上述定理可得，极值点一定是驻点或一阶导数不存在的点。例 1 求函数 的极值。32)1(4)(xxf例 2 求函数 的极值2教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-12 页 例 3 球函数 在-3,4上的最大值与最小值23)(2xf42 分钟定理（第二充要条件）：若函数 在 点有二阶导数，且)(f0，那么0)(,)(0xff（1） 若 ，则 点是极大值点；0x（2
17、） 若 ，则 点是极小值点。0f（由凹凸性分析。 ）求极值的步骤：（） 求出一阶导数；（） 求出一阶导数为零或不存在的点；（） 判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；（） 判断出极值点并求出极值。例 3 求函数 的极值。1)()32xf例 4 求函数 的极值。786x二、最值问题最大值和最小值定义：注：极值是函数局部的性质，最值是函数全局性质。 （画图说明）最值点的可疑点：极值点（一阶导数为零或不存在的点） ，端点。例 3 铁路线上 AB 段的距离为 100km。C 距 A 处为 20km，AC 垂直于 AB。为了运输需要，要在 AB 线上选定一点 D 降工厂修筑一条公路。已知铁路每公
18、里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为 3:5。为了使货物从供应站 B 运到工厂C 的运费最省，问 D 点应选在何处？ 例 4A BD 100km20kmC( ,其中铁路每公里货运的运费为k，公路上每公)10(34052xxky里货运的运费为k)例 5 某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有砖只够砌 20m 长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？42 分钟内容小结：极值的判断；最值的求法。思考题：最值点与极值点的区别与联系教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-13 页 作业：P160 1(1)(3),4(1)(3)(5),9,10备注：分钟授课章
19、节 第三章 微分中值定理与导数应用 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率目的要求 1会利用极值点、拐点，以及函数的单调性、凸凹性等画图；2函数的曲率及曲率半径重点难点 曲率及曲率半径的计算公式复习分钟第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘的列表法：找出函数的特殊点以及各特殊点之间的函数性质。（1） 特殊点：极值点、拐点、函数及导数不存在的点。（2） 特性：点调性、凹凸性。 （求出一、二阶导数）（3） 水平和铅直渐进线。例 1 描绘函数 的图形。123xy例 2 描绘函数 的图形。2)(6142 分钟第七节 曲率一、 弧微分分析：（画图）弧微分： dxyds2)(1二、 曲率及其计算公式 平均曲率： |sk曲率： d|lim0 曲率的几何意义：K=1/R，R 称为曲率半径。 计算公式教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-14 页 分析： ，得曲率222 )(1,sectan dxykxsddxydxy 而公式 23)1(yk例 计算双曲线 在点(1,1)处的曲率.1xy42 分钟内容小结：利用极值点、拐点，以及函数的单调性、凸凹性等画图；函数的曲率及曲率半径。思考题：单调函数的导数是否也必为单调?请研究例子 3)(xf作业：P175 1,3,5备注：分钟教 案课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日第 次 第 3-15 页
