1、年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 1 -第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、 （ ）则， 且存 在，设 ,1)x(ff )x(f 0)(f )x(f 00 是 否 为 极 值 点不 能 断 定的 极 值 点 不 是 的 极 小 值 点是的 极 大 值 点 是 00 x)D(fC B)A2、 （ ）处 必 有在则处 连 续 且 取 得 极 大 值 ，在 点函 数 )(f )(fy 0)x(f)0x)( 0 或 不 存 在 且 )(f)x(fx)( 03、 （ ）的 凸 区 间 是 e ) ,2(D) ),(2 C) 2),(B) 2),( A 4、在区间 -1，1 上
2、满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A) (B) (C) (D)xsin)(f2)1x(f32x)(f1x)(f25、设 f (x) 和 g (x) 都在 x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则 F(x)在 x=a 处（ ）(A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、 （ ）满 足 罗 尔 定 理 的 区 间 是使 函 数 )x1(y 32(A) -1,1 (B) 0,1 (C) -2,2 (D) 54,37、 的凹区间是（ ）x2e(A) (B) (C) (D) ),()2,()1(， )1(，8、函数 在 处连续，若 为 的极
3、值点，则必有（ ） xf00x(f(A) (B) (C) 或 不存在 (D) 不存在)(0 )(f 0)xf)(0xf )(0xf9、当 a= ( ) 时， （ ）处 取 到 极 值在 3sinai(A) 1 (B) 2 (C) (D) 010、 （ ）间 是适 合 罗 尔 定 理 条 件 的 区使 函 数 )x1( )x(f 3 54,3)D( 2,)C( ,B 1,0)A( 11、 （ ） ， 则上 的 凹 弧 与 凸 弧 分 界 点为 连 续 曲 线，若 )x(fy )x(f 0的 极 值必 定 不 是的 极 值 点为 必 定 为 曲 线 的 驻 点， 必 为 曲 线 的 拐 点， )x
4、(f x)D( )(f )C( B00二、填空题1、 _ey82x 的 凸 区 间 是曲 线 2、 x的 极 小 值 点 是函 数年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 2 -3、 _ 的 凸 区 间 为曲 线 x3ey 4、函数 f（x）x 在0,3上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点 5、设曲线 ya 以点（ 1，3）为拐点，则数组（a ，b） 23b6、函数 在区间 2,0 上的最大值为 ，最小值为 7、函数 在 上的罗尔中值点 = xsinl65, 8、 在区间 1，3 的拉格朗日中值点 = _ y9、 _ 2x 的 极 小 值 点 是函 数 10、 。y的 极
5、 小 值 点 是函 数 11、yx ，5 的最小值为 11x12、 的单调减区间是 13、 在且仅在区间_上单调増arctn14、函数 f(x)x2cosx 在区间 0 , 上的最大值为 215、函数 y 的单调减少区间是 3422316、已知点（1，3）是曲线 的拐点，则 a= ，b= 2bxay17、 . 的 单 调 递 减 区 间 为 e 2)x(fx三、计算题1、 。的 极 值 和 单 调 区 间求 函 数 496y 232、求极限 ) 1x ln(im1x3、求函数 y2 的单调区间、凹凸区间、拐点3234、设常数 ，试判别函数 在 内零点的个数0k()lnxfke0,5、求函数 的
6、单调区间和极值 。10x6236 ) -e1 x(limx07 上 的 最 大 值 与 最 小 值在求 函 数 , 45 y8求曲线 的单调区间和凹凸区间.xln9. 求曲线 的单调区间和凹凸区间.323y10求函数 图形的凹凸区间及拐点xe11、 .的 拐 点求 曲 线 3 2ty12、求函数 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点4x96213、 上 的 最 大 值 、 最 小 值，在求 函 数 178 3年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 3 -14、 的 单 调 性 和 凹 凸 性讨 论 函 数 )x(1ln f) 215、讨论函数 的单调性和凹凸性16、 求曲线 的凹凸区间
7、和拐点)l(2xy17. 求函数 在区间 上的最大值与最小值843,118. 求函数 在区间 -2，0上的最大值和最小值319. 试确定常数 a、b 、c 的值，使曲线 在 x= 2 处取到极值，且与直线 cbxay23 3xy相切于点（1 ，0） 四. 综合题(第 1-2 题每题 6 分，第 3 题 8 分，总计 20 分)1证明：当 x 时， )2,0(sin)coxx2、 1 l1 22时 ，当3、证明： ctartx4、设 在 0,1 上可导，f(x) (x1) ，求证：存在 x (0，1)，使 )x()x( 0)0( x( f5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 时， 0babalna
8、b6、 证明：当 时， 0xx1rctn)ln(7、 )l( 1, 时证 明 ： 当8、证明：当 x0 时，有 1+ x1 29、证明当 sin6x 0x3时 ，10、 证明：若 ，则 x1 ) (l11、 )ln(2 1 xx时 ，证 明 ： 当12、证明：多项式 在 0，1 内不可能有两个零点3)(f13、证明当 . x 2 1x时 ，14、 cosin0时证 明 ： 当答案：1、选择年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 4 -1、A 2、D 3、A 4、D 5、D 6、 B 7、A 8、C 9、B 10、A 11、A2、填空1、 ,2、 ln2x3、 ,3,4、25、 9,
9、6、2,17、 28、 319、 ln210、 1l11、 5612、 x 413、-1414、 3615、 ） 上 单 调 递 减，在 （ 2116、 9,17、 )2ln1，（三、计算题1、解：令 可得驻点： 2 分2393()10,yxx12,3x列表可得函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 5 分 (,)(,)(,)极大值为 极小值 7 分1|0,xy3|4xy2、解：原式 6 分111lnlnln1limilim() 2xxx年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 5 -3、解：令 可得驻点： 2 分264(32)10,yxx12,3x列表可得函数的单调递增区间为 ，单
10、调递减区间为 4 分(,)(,)(,)又令 得 . 5 分120yx316所以凸区间为 ,凹区间为 .拐点为 . 7 分()(,)19(,3)6274、解： 1 分1()fxe当 时, ,所以 在 上单调增加; 2 分0()0f()fx0,e又 , 充分接近于 0 时, , 3 分()fkxf故 在 内有且仅有一个零点. 4 分xe同理, 在 内也有且仅有一个零点. 6 分()f,)5、解：解 可得驻点： 2 分2363(2)10,yxx12,x列表可得函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 5 分 (,)(,)(,)极大值为 极小值 7 分127|,xy2|0xy6、解： 原式 2 分01l
11、imxe 4 分0lixxe 6 分01li2xxe年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 6 -7、解 ： 当 单调增加时，函数 单调减少， x()54gx所以函数 也是单调减少。 2 分()54y在区间 函数 是单调的减函数。1,x所以当 时，函数取得最大值 ； 4 分xmax3y所以当 时，函数取得最小值 。 6 分in18、解 ： 令 ，于是 。21ln,xy0yxe当 时， ，函数单调增加；0xe当 时， ，函数单调减少。 2 分0y所以函数的单调增区间为： ；(,)e函数的单调减区间为： 。 4 分而 令 ，于是 。 5 分32ln,xy0y32xe函数的凸区间为： ；
12、函数的凹区间为： 。 6 分32(,)e32(,)9、解： 因为 ，264(1)32yxx所以令 得到 。 2 分0,y12,3函数的单调增区间为： ；(),(函数的单调减区间为： 。 4 分又由于，12yx于是函数的凸区间为： (,);6函数的凹区间为： 。 6 分10、解：因为：年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 7 -， 2 ,(2)xx xyeeyxe 分令 ，得到： 0,y。12, y所以函数的单调增区间为： ，(,)函数的单调减区间为： 。 4 分,函数的凸区间为： ，(2)函数的凹区间为： 。函数的拐点为： 。 6 分,2(,)e11、解： 3 分3224)1(
13、,3tdxytdxy令 得 从而得曲线的可能 为04)1( 322t ,21tt 拐 点，又二阶导数在该两点左右异号。所以 为曲线的),1( ) ,(和 )4,1( )2 ,(和拐点 6 分12、解： 令 .3,1 x,0)3(19123 2xxy 得令 3 分. ,06 3得列表如下x )1,(x=1 (1, 2) x=2 (2, 3) x=3 ),3(y+ 0 - - - 0 +- - - 0 + + +y=f(x) 单调增，凹极大值f(1)=0单调减，凹拐点（2，-2） 单调减，凸极小值f(3)=-4单调增，凸7 分年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 8 -13、解： 令
14、 3 分3 4,10)3(168126 21 xxxxy （ 舍 去 ） ， 得 驻 点比较函数在端点和驻点处的函数值，得 为上 的 最 大 值 、 最 小 值，在函 数 27862 2y6 分3,27maxiny14、解： 令 ， 得 ， .3 分0)1(2),012)( xfxf 1,0,132xx列表如下x ),(-1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 ),1()(f- - - 0 + + +x- 0 + + + 0 -)(fy单调递减凹区间拐点 单调递减凸区间极小值点 单调递增凸区间拐点 单调递增凹区间7 分15、解： 32312 ,0ln)(,0ln1)( exxfexxf 得得
15、x (0,e) ex),(3e3ex),(3e)(f+ 0 - - -x- - - 0 +)(fy单调递增，凹函数极大值 单调递减，凹函数拐点 )3,(e单调递减，凸函数.6 分16、解： ，拐点为 4 分22)1(, xyx)2ln,1(l,(凹区间为 凸区间为（-1，1） 6 分,),(和年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 9 -17、解：由于 2 分)2(4163 xxy所以，函数在-1，3上的驻点为 。 3 分,0当 x=0 时，y=2,x=2 时，y=-14 5 分 而 x=-1 时，y=-2, x=3 时，y=11 7 分所以函数的最大值为 11，最小值为-14 8
16、 分18、解：由于 2 分)1(32 xxy所以，函数在-2，0上的驻点为 。 3 分当 x=-1 时，y=3 ，而 x=-2 时，y=-1, x=0 时，y=1 5 分所以函数的最大值为 3，最小值为-1 6 分19、解：根据已知条件得 4 分221|(3)|40 dy|3xxxdyababc解上面方程组得 7 分203cba四、综合题（1）证：令 ， 1()sincosin2Fxxx(0,)显然 在区间 上连续的，可导的。并且 2 分()x0,2).F由于，()1cos2Fxx对于任意的 ， 。 (0,)2x0所以函数 在区间 上单调增函数。 4 分F,于是对于任意的 ，有()x，0即为：
17、6 分sinco.xx年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 10 -（2）证： 令 )0()1ln(),0)(,1)ln(1)( 222 xxffxxxf 则所以 0时 ，当（3）证： 令 4 分0)(,cotartn)( xfxf 则所以 f(x) 恒为常数，又 ，从而 6 分24)1(f 2ctart)(xxf（4）证： 因为 在 0,1 上可导，所以 f(x)(x1) 在0，1上连续，在（0，1）内可导。 4 分)x( )x( 根据拉格朗日中值定理，至少存在一点 x (0，1)，使 8 分0)0()( ff（5）证：设 ，则 1 分xfln)(xf1)(对 用拉格朗日中值定
18、理得 )(lnbafba，其中 4 分baln ),(ab而 ，所以 6 分bf)( l（6）证：令 1 分xxf arctn)1ln()(则 。 3 分2lx因为当 时， ， 4 分0 0)1ln(1)ln()2 xxf所以 在 上是严格单调连续递增函数，并且 ， 5 分)(xf,f故当 时， ，即 。 6 分00)(f x1arct)ln(（7）证：令 1 分xfxf 1)(,1ln()年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 11 -对 利用柯西中值定理存在1ln)l()xf使得 3 分0，（ )1)(l)(xfxf 即 4 分1)ln(x又由于 ， ，所以 6 分0，（ xx
19、1x)1ln(x （8）证：令 21()()fxx2 分()0,2f故 时, 即 5 分x()0fxf21()(),0xx从而 6 分1 （9）证：令3 ()sin6xf因为 4 分222()1coi()0,()xxfx 故 时, ,即 6 分0()0f3 sin6（10）证： 令 2 分 ()ln1),(0)xFx则 在 的范围中是可导的 ，且 。 ()Fx0(0， 22)1()(1)xx对于任意的 ，有 。0x()0F所以函数 在 的范围中是单调上升的。 4 分()于是，对于任意的 ，有x， ()0xF即：。 6 分ln(1)x年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷 01- 12 -（
20、11）证：令 2()ln1),xFx(1)x显然函数 在区间 上连续并且可导。 2 分(),且有： 。1ln20而且对于任意的 ， 4 分1x2 1() 0,1xFx所以对于任意的 ，2()ln)()0Fxx于是原不等式成立。 6 分（12）证：假设函数 在区间 上至少存()fx0,1在两个不同的零点 。 2 分122,)函数 在区间 上连续，可导。()fx0于是有。 4 分12()()0ffx根据罗尔中值定理，则存在一点 ，12(,)0,1x使得 ， 2()31)0f显然这是不可能的。所以假设不成立。 6 分（13）证： 令 4 分011)(1 x, 13 2f(x) 232 xxf时则 当所以 当 x1 时，f(x)f(1)=0 , 即有 6 分3 2 时 ，（14）证： 令 3 分)20(2cos1)(,0)(,cosin)( xxffxxf 则所以 ， 即 .6 分)0(, 20 ff时当 csin 时当
