1、4.1微分中值定理 单元教学设计一、教案头单元教学学时 8单元标题：微分中值定理在整体设计中的位置 第 23-26 次授课班级 上课地点能力目标 知识目标 素质目标教学目标能够理解和掌握罗尔定理能够掌握拉格朗日定理并证明相关问题能够掌握导数判断函数的单调性能够掌握柯西中值定理及洛比达法则洛尔定理、拉格朗日定理单调性、柯西定理、洛比达法则深刻思维能力团结合作能力语言表达能力能力训练任务及案例任务 1 罗尔定理 任务 2 拉格朗日定理 任务 3 单调性 任务 4 柯西定理与洛比达法则案例 1 求 的单调区间123xy案例 2 讨论 的单调性-xe案例 3 计算 -)(sinlm1x案例 4 设 f
2、(x)在0,1上连续，在（0,1 ）内可导，且 f(1)=0,试证：至少存在一个点 ，使得 )2f(-)(f案例 5 设 在区间 上连续，在 内可导，证明：在 内至少存在一点xf,baba, ba,，使得ffabff )(案例 6 若 均为常数，求0,baxx302lim教学材料高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社高等数学应用 205 例 李心灿主编高等教育出版社经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社二、教学设计步骤 教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1（告知）本单元学习目标： 洛尔定理拉格朗日定理单调性柯西定理洛比达法则陈述 板书 识记1
3、0分钟2（引入任务 1）洛尔定理学生阅读 73 页，理解罗尔定理。教师黑板画图像：12108642246820 15 10 5 5 10 15f(b)f(a) ba根据图像寻找点，结合导数的几何意义，寻找 0f经过讨论：原来这个 点就是最高点或者最低点。例： 设 ，验证符合洛尔定理。xf-3)(练习：设 验证符合洛尔定-1,.5,2理。教师讲解教师提示学生认真听讲分组研讨30分钟3（任务2）拉格朗日定理学生阅读 70 页教材，结合下面的图像：10864224681020 15 10 5 5 10 15f(b)f(a) ba分析拉格朗日定理的成立理由例 研究 在区间1,2上满足拉格朗日定理2xy
4、证明：如果 在区间a,b 内满足 ，则在)(f 0)(xfa,b内 f(x)是个常数。练习：证明 2arcosrsinx教师启发讲解板书师生研讨40分钟4（任务3）单调性学生阅读 72 页内容，总结单调性与导数有何关系。64224610 5 5 10f(x)0f(x)0x2 x3x1 4总结：（1）如果 在 内的导数 ，那)(xfba,)(xf么 f(x)在这个区间内单调增加（2）如果 在 内的导数 ，那么 f(x)(f, 0)(f在这个区间内单调减少要研究函数的单调区间步骤（1）求驻点（2）以驻点分开定义域为若干块，在每块内探讨一阶导数的正负。正的单调增加，负则单调减少。例：研究 的单调区间
5、4xy例：研究 的单调区间23-练习：证明， 时，0xxe教师启发讲解板书师生研讨60分钟5（任务4）柯西定理与洛比达法则864224Y5 5 10 15XABC柯西定理是前面两个定理的推广，学生了解即可。他的教师启发讲解板书师生研讨60分钟证明是把两个函数看成参数方程， ， ，连接)f(xYFX)(,afA)(,bfFB的连线的斜率是 ，在曲线上必有一个B()-bf点 ，它的切线斜率是C)(FfdxXY柯西定理的一个主要应用就是证明罗比达法则： Afygxfx)(lim)(li00例 计算 1-23li1x例 计算 xtancosli例 计算 xx1r-2lim例 计算 nxli练习 计算
6、xxl1-li1计算 计算xtancolim)2( xxtancolim)2(6（案例）案例 1 求 的单调区间132y案例 2 讨论 的单调性2-xe案例 3 计算 -)(sinlm1x案例 4 设 f(x)在0,1上连续，在（ 0,1）内可导，且 f(1)学生讨论学习60分钟=0,试证：至少存在一个点 ，使得)2f(-)(f案例 5 设 在区间 上连续，在 内可导，)(xf,baba,证明：在 内至少存在一点 ，使得ba,ffff )(案例 6 若 均为常数，求0,baxxba302lim作业 77 页 1 2 3 4课后体会4.2函数的极值和最值 单元教学设计一、教案头单元教学学时 8单
7、元标题：函数的极值和最值在整体设计中的位置 第 27-30 次授课班级 上课地点能力目标 知识目标 素质目标教学目标能够极值和最值的概念和区别能够求解函数的极值和最值单调性极值最值求法深刻思维能力团结合作能力语言表达能力能力训练任务及案例任务 1 函数的极值定理及其求解任务 2 函数的最值及其求解案例 1 求 的极值123xy案例 2 讨论 的极值-xe案例 3（最大流量出口） 有一块宽为 2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为 x,问高 x 取和值时水槽的流量最大？案例 4 （铁路站点安置） 铁路线 距离为 100 公里，工厂 距 为 20 公里
8、，ABCA垂直于 ，今要在 上选定一个点 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每ACBD公里货运费之比是 3:5，问 点选在何处才能使从 B 到 C 的运费最少？案例 5 （最大面积问题） 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图教学材料高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社高等数学应用 205 例 李心灿主编高等教育出版社经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社二、教学设计步骤 教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1（告知）本单元学习目标： 极值最值陈述 板书 识记5 分钟2（
9、引入任务 1）极值学生阅读 77 页内容，搞清楚：（1）极值点的定义（2）求解极值点的方法定义：设函数 在点 的某邻域内都有)(xf0，则称 是极大点， 为极大值。设)(0xf )f(x0函数 在点 的某邻域内都有 ，则称是极小点， 为极小值。0x)f(0如下图 x1x2x3是极大点， 是极小点31,2判断一个点 的极大点或者极小点有两种方法0x1、根据 两侧的 的符号来判定)(f教师讲解教师提示学生认真听讲分组研讨50分钟左侧0x0x右侧0x)(f极小点 )(fx极大点 x0)(f不是极值点 0)(fx不是极值点 x例 求函数 的极值点和极值2-1xy练习：求函数 的极值点和极值2)(2、根
10、据二阶导数 的符号来确定xf设 是驻点，如果 ，则 是极小点；如果0x0)(x，则 是极大点； ，则 是无)(f0x)(f0法判断 是极大点还是极小点。0例 求函数 的极值xy96-23例 求函数 的极值21)(3（任务2）函数的最值学生阅读教材 79 页，总结求最值的办法以及极值和最值的区别。求解最大值和最小值的办法：（1）求出 在 内的一切驻点和一阶导数不存)(xfba,在的点，并计算个点的函数值（此时不必判断是极大值点还是极小值点）（2）求出端点 )(,bfa（3）比较前面求出的所有函数值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。例 求函数 在-3,4上的最值xxf12-3)(解： ，得 。
11、所以062 1,-。所以最大8f(4)9,f(-7,(1),0)(-ff值点是 4，最大值是 128；最小值点是 1，最小值是-7.练习：求函数 在-3,3上的最2-3)(34xxf值参考图像教师启发讲解板书师生研讨40分钟4（案例）案例应用案例 1 求 的极值123xy 学生讨论学习数学软件演示图像60分钟案例 2 讨论 的极值2-xey案例 3 有一块宽为 2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为 x,问高 x 取和值时水槽的流量最大？案例 4 铁路线 距离为 100 公里，工厂 距 为ABCA20 公里， 垂直于 ，今要在 上选定一个点CB向工
12、厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费D之比是 3:5，问 点选在何处才能使从 B 到 C 的运费最少？案例 5 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图作业 80 页 1 2 3 4.3函数图像的描绘 单元教学设计一、教案头单元教学学时 8单元标题：函数图像的描绘在整体设计中的位置 第 31-34 次授课班级 上课地点能力目标 知识目标 素质目标教学目标能够掌握函数的凸凹性及拐点能够求解函数渐进线能够按照步骤画出复杂函数的图像凸凹性拐点渐进线函数的图像深刻思维能力团结合作能力语言表达能力能力训练任务及案例任务 1 函数
13、的凸凹性和拐点任务 2 函数的渐近线.任务 3 按步骤描绘函数图像案例 1（注水曲线凸凹） 设水以常数 注入下图的容器中，请做出水上升0,/3asm的高度关于时间 t 的函数 ，并阐明此函数的拐点和凸凹性。)(tfy案例 2 描绘函数 的图像。2-)1(4xy案例 3（最值问题） 要用铁皮造一个容积为 V 的圆柱形闭合油罐，问底半径 r 和高 h等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径 r 和高 h 的比值是多少？案例 4（最值问题） 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是 V，问当圆柱体的高 h 和底半径 r 为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？教学材料高等数学教材 侯风
14、波主编 高等教育出版社高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社高等数学应用 205 例 李心灿主编高等教育出版社经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社二、教学设计步骤 教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1（告知）本单元学习目标： 凸凹性拐点渐近线描绘函数图像陈述 板书 识记10分钟2（引入任务 1）凸凹性学生阅读 83 页，理解凸凹性。如下面函数图像AB观察图像，发现函数的图像有的在其上的点的切线下方（下凹） ，有时函数的图像有的在其上的点的切线上方（上凹） 。例如 A 点，图像在过 A 点的切线下方，那么A 点周围的函数图像就是下凹。例如 B 点，图像在过 B点的切线上方，那么 B
15、 点周围的函数图像就是上凹。关于凸凹性有重要的定理：设函数 在 内有二阶导数。那么)(xfyba,（1）若在 内 ，则曲线在 内上凹。,0 b)(a,（2）若在 内 ，则曲线在 内下凹。b)(a,(xf )(,教师讲解教师提示学生认真听讲分组研讨30分钟拐点如果点 P 的两侧，函数的凹向性不一样，那么这样的点P 叫做函数的拐点。因此拐点就是使得 或者0)(xf二阶导数不存在的点。例 求曲线 的凸凹性与拐点。3xy例 判定函数 的凸凹性ln例 求函数 的拐点。xey13（任务2）渐近线（1）斜渐近线若 满足： ，且)(xf kxf)(limbkx-f()lix则曲线 有渐近线fyby如下图：例
16、求曲线 的斜渐近线3-2xy例 求曲线 的斜渐近线2-1（2）垂直渐近线教师启发讲解板书师生研讨60分钟如果 (或者 或者 )时，Cxx-Cx。则 是 的垂直渐近线)(f)(f例 求 的垂直渐近线5-1xy例 求曲线 的垂直渐近线23（3）水平渐进线如果 (或者 或者 )时，xx-x。则 是函数的水平渐近线Cf)(y例 求 的水平渐近线2-xe例 求曲线 的水平渐近线2-13y例 求曲线 的水平渐近线。xcos5in4例 求 的渐近线)l(exy例 求曲线 的斜渐近线x124（任务3）描绘函数图像学生阅读 86 页，总结描绘函数图像的步骤：（1） 确定函数的定义域（2） 考察函数的周期性和奇偶
17、性（3） 确定函数的单调区间、极值点、凸凹性、拐点、考察（4） 考察函数的曲线的渐进线（5） 考察函数曲线与坐标轴的交点最后画出图像例 描绘函数 的图像32-xy教师启发讲解 板书 师生研讨 60分钟（1）定义域 ,-（2）函数不具备周期性和奇偶性（3）令 得 表明函数与 x 轴有两个交0y3,x点，一个是 0，一个是 3.（4） 得驻点 0,2.用二阶导数判定,x=0 是)-(2xy极小点，极小值 f(0)=0,x=2 是极大点, 极大值 f(2)=4(5) ,拐点 x=1,在 1 的左侧 ，上凹；)-6(1y 0y在 1 的右侧， ，下凹0（6）无渐近线作图如下：1086422468101
18、5 10 5 5 10 15例 画出 的图像。参考图像xey16141210864224681012141625 20 15 10 5 5 10 15 20 255（案例）案例应用案例 1 设水以常数 注入下图的容器中，0,/3asm请做出水上升的高度关于时间 t 的函数 ，并阐)(tfy明此函数的拐点和凸凹性。参考图像? ?案例 2 描绘函数 的图像。2-)1(4xy10864224610 5 5 10案例 3 要用铁皮造一个容积为 V 的圆柱形闭合油罐，问底半径 r 和高 h 等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径 r 和高 h 的比值是多少？案例 4 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，学生讨论数学软件演示60分钟其容积是 V，问当圆柱体的高 h 和底半径 r 为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？作业 87 页 3 4课后体会
