高等数学同济第六版课件 第七章 微分方程总结

1、x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,例6 求解微分方程,，其中,是 的连续函数。
,解,分离变量,两端积分,即：,其中c为任意常数.。

2、齐次方程 第三节 一 齐次方程 二 可化为齐次方程 第七章 homogeneousequation 一 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 令 代入原方程得 两边积分 得 积分后再用 代替u 便得原方程的通解 解法 分离变量 可分离变量的方程 例1 解微分方程 解 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 当C 0时 y 0也是方程的解 C为任意常数 例2 解微分方程 解 则有 分离。

3、某些二阶微分方程 一阶微分方程 可降阶的微分方程 一 型的微分方程 二 型的微分方程 五 小结思考题 三 型的微分方程 四 齐次方程 第四节可降阶的高阶微分方程 differentialequationofhigherorder 定义 二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程 一般形式为 注 一般的高阶微分方程没有普遍的解法 处理问题的基本原则是降阶 解法 特点 依次积分下去 就可得通解 解 特。

4、 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,例3. 求解定解问题,。

5、li equation,全微分方程 total differential equation,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),例,2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解。

6、li equation,全微分方程 total differential equation,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),例,2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,代入原式,分离变。

7、程的解:,4.微分方程的解的分类：,(1)通解:,若将函数y=(x)代入微分方程，,含有任意常数,且任意常数的个数,能使两端恒等，称y=(x)为该微分方程的解.,例,是它的解,与微分方程的阶数相等的解.,(2)特解: 确定了通解中任意常数后的解.,通解,积分曲线：,微分方程的解的图像.,通解的图象:,积分曲线族.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,5. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.,例1 求微分方程,过(1,0)点的积分曲线,解,方程化为,积分：,通解,过(1,0)点,所求积分曲线为,例2 求微分方程通解,练习题,1.以 为通解的微分方程是_,2.以 为通解的,微分方程是_,3.微分方程 的通解是_,4.微分方程,的通解是_,第二节 可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,若微分方程能写成,则称原方程为,解,分离变量,两端积分,。

8、微分方程部分总结 一 基本概念 1 微分方程 2 微分方程的解 3 微分方程的解 通解 特解 4 初始条件 初值问题 5 微分方程的积分曲线 可分离变量的方程 可化为g y dy f x dx 解法 二 一阶微分方程的解法 2 齐次方程 解法 设 可化为 解法 设 3 一阶线性微分方程 1 通解为 2 常数变异法 3 积分因子法 4 伯努利 Bernoulli 方程 方程为线性微分方程 方程为非线。