高等数学同济第六版课件 第七章 第1.2.3节

1、无穷小的比较,一、无穷小的比较,例如,观察各极限,不可比.,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,定义:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,注,上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,一般地有,即与等价,与互为主要部分,例如,补充,高阶无穷小的运算规律,二、等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,意义,求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或。

2、某些二阶微分方程 一阶微分方程 可降阶的微分方程 一 型的微分方程 二 型的微分方程 五 小结思考题 三 型的微分方程 四 齐次方程 第四节可降阶的高阶微分方程 differentialequationofhigherorder 定义 二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程 一般形式为 注 一般的高阶微分方程没有普遍的解法 处理问题的基本原则是降阶 解法 特点 依次积分下去 就可得通解 解 特。

3、常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第 八节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为。

4、一阶线性微分方程,linear differential equation of first order,非齐次 non-homogeneous,齐次线性方程 homogeneous linear equation,非齐次线性方程 non-homogeneous linear equation,常数变易法 method of variation of constant,伯努利方程 Bernoulli equation,全微分方程 total differential equation,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,齐次方程的通解。

5、一阶线性微分方程,linear differential equation of first order,非齐次 non-homogeneous,齐次线性方程 homogeneous linear equation,非齐次线性方程 non-homogeneous linear equation,常数变易法 method of variation of constant,伯努利方程 Bernoulli equation,全微分方程 total differential equation,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,齐次方程的通解。

6、可分离变量的微分方程,隐式通解 implicit general solution,隐式解 implicit solution,variable separable differential equation,转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分。

7、齐次方程 第三节 一 齐次方程 二 可化为齐次方程 第七章 homogeneousequation 一 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 令 代入原方程得 两边积分 得 积分后再用 代替u 便得原方程的通解 解法 分离变量 可分离变量的方程 例1 解微分方程 解 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 当C 0时 y 0也是方程的解 C为任意常数 例2 解微分方程 解 则有 分离。

8、微分方程部分总结 一 基本概念 1 微分方程 2 微分方程的解 3 微分方程的解 通解 特解 4 初始条件 初值问题 5 微分方程的积分曲线 可分离变量的方程 可化为g y dy f x dx 解法 二 一阶微分方程的解法 2 齐次方程 解法 设 可化为 解法 设 3 一阶线性微分方程 1 通解为 2 常数变异法 3 积分因子法 4 伯努利 Bernoulli 方程 方程为线性微分方程 方程为非线。

9、第七章 微分方程,第一节 微分方程的基本概念,解 设所求曲线为y=y(x),例1 一曲线通过点(1,2)且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.,由,得C=1,所求曲线为:,微分方程,初始条件,微分方程的通解,微分方程的特解,1.微分方程:,例,含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,2.微分方程的阶:,方程中出现的未知函数导数的最高阶数.,基本概念,3.微分方程的解:,4.微分方程的解的分类：,(1)通解:,若将函数y=(x)代入微分方程，,含有任意常数,且任意常数的个数,能使两端恒等，称y=(x)为该微分方程的解.,例,是它的解,与微分方程的。