概率与数理统计基础

1、第一节 大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,一、问题的提出：,得,例5.2 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.,解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目，,如果用契比雪夫不等式估计：,可见，虽然有10000盏灯，但是只要有供应7200盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用.事实上，契比雪夫不等式的估计只说明概率大于0.95，后面将具体求出这个概率约为0.99999. 。

2、一、点估计,二、区间估计,3.5 参数估计,思考,从一片桃园中随机抽取10颗桃树，测得其产量（单位：kg）分别为422，402，406，445，462，473，394，433，501，458假设桃树的产量服从正态分布，那么能否用这10颗桃树的平均产量来推断该桃园的平均产量?因样本是从总体中随机抽出来的，所以样本能够不同程度地反映总体的信息，故可以考虑用这10颗桃树的平均产量来推断该桃园的平均产量因为这10颗桃树的平均产量为440kg ，所以，我们可以认为该桃园的平均产量约为440kg这种用样本值计算出一个估计值用以估计总体参数值的方法就叫点估计,一、点估。

3、3.3 条件分布,一 、离散型随机变量的条件分布律,设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P X= xi ,Y= yj = pi j , i , j=1,2,.,关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：,1、定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j , 若PY= yj 0, 则称,为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X= xi |Y= yj 0；,同样对于固定的 i, 若PX= xi0, 则称,为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。,例1 在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道工序是由机器人完成的. 其一是紧固3只螺栓, 其二是焊接2处焊。

4、现在转入课程的第二部分,数理统计,数理统计的特点是应用面广，分支较多, 社会的发展不断向统计提出新的问题。,从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作 . 但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断.,到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.,数理统计学,概率论与数理统计是两个有密切联系的学科,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.,但在研究问题的。

5、1.2 事件的概率,1.2.1 概率的初等描述,概率的直观定义：在随机试验中，事件发生的可能性大小的数量指标。记为 P（A）,例：E-掷硬币，A=正面朝上，B=反面朝上,结论：,古典概型是一种计算概率的数学模型，它是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象。,* 引例,例1 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，编号分别为110，现从中任取一球。,用i表示取到i号球，i = 1, 2, , 10，则该实验的样本空间 = 1,2,10（有限多个样本点）,且每个样本点出现的可能性相同（1/10）。,1.2.2 古 典 概 型,另如： 1掷一枚均匀的硬币（1）有2个可能的结果。

6、1,数 理 统 计,2,第五章 大数定律和中心极限定理,关键词：契比雪夫不等式大数定律中心极限定理,3,1 大数定律,背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式,4,5,例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。,6,随机变量序列依概率收敛的定义,7,8,大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有。

7、1,1.6 概率与数理统计,1.6.1 概率论的基本概念,2,随机试验:,概率论里所研究的试验有下列特点: 在相同的条件下试验可以重复进行; (2) 每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果; (3) 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果,1.6.1 概率论的基本概念,1.随机事件,3,样本空间:,给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成一个集合, 这个集合称作样本空间, 用大写的希腊字母表示, 这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点, 可以用小写的希腊字母表示.,随机事件:,随机事件就是样本。

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9、概率论与数理统计概率论与数理统计随机事件及其概率随机现象的结果称为 事件 .描述事件发生可能性的大小的数称为 概率 .概率论就是研究随机事件的概率 .如何求随机事件的概率（二）运用概率模型（一）运用频率方法求事件概率对随机现象进行大量重复试验，则试验的结果是有规律的试验者 抛掷次数 正面次数 正面频率Buffon 4040 2048 0.5069Pearson 12000 6019 0.5016Pearson 24000 12012 0.5005计算机 240000 119928 0 .4997计算机 2400000 1200065 0 .50002概率论与数理统计正面概率： 0.5Menu 概率论与数理统计当随机试验的每一种可能出。

10、第 1 章 概率论与数理统计基础1.1 概率论基础一、随机事件与概率1. 随机事件简称事件自然界中的事件可分为必然事件、不可能事件和随机事件三种：必然事件（U）：指在一定条件下必然发生的事件，如“1atm 1下水加热至 100时沸腾”是必然事件。不可能事件（V）：指在一定条件下不发生的事件，如“1atm 2下水加热至 50时沸腾”是不可能事件。随机事件（A、B）：指一定条件下，可能发生，也可能 3不发生的事件。2. 概率与频率对每一次试验而言，随机事件是否发生是带有偶然性的。但在大量重复试验下，并把这些试验结果综合在一起，就可以看出。

11、2019/3/2,1,概率论与数理统计,2,数 理 统 计,3,第五章 大数定律和中心极限定理,关键词：契比雪夫不等式大数定律中心极限定理,4,1 大数定律,背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式,5,6,例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。,7,随机变量序列依概率收敛的定义,8,9,大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因。

12、2.2离散型随机变量,一、离散型随机变量 1、离散型随机变量定义 2、离散型随机变量的概率分布 3、离散型随机变量的分布函数 4、离散型随机变量的分布律的求法二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数 1、（0-1）分布（两点分布） 2、等可能分布（离散型均匀分布） 3、二项分布 4、泊松分布,一、离散型随机变量,1、离散型随机变量定义定义2、1 若随机变量X的可能取值仅有有限或可列多个，则称此随机变量为离散型随机变量。即：X的可能取值记为xk,则离散型随机变量 X=xk k=1,2,3,在2.1随机变量例1.1例1.4中,X1, X2, X4为离散型随机变量。

13、统计学认为，总体就是一个随机变量X，它的分布称为总体分布。数理统计的基本问题就是推断总体的分布。,数理统计基础,从总体X中抽取部分个体，称为抽样，即是 对X进行若干次观测，得到的就是n个随机变 量X1,X2, Xn ，称为样本，其中n为样本容 量，样本中的个体称为样品,样本观测值称 为样本值。,Review,为使样本具有充分的代表性，常进行简单 随机抽样，即要求：,数理统计基础,样本有随机性：总体中每个个体入选的机会相等，即每个样品与总体同分布；,样本有独立性：每次抽样的结果不影响其它各次抽样的结果，即相互独立。,简单随机抽样得。

14、计量经济学数学基础,概率论与数理统计,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。主要包括：随机事件和概率、随机变量的分布和数字特征、中心极限定理和大数定理、抽样分布、统计估计、假设检验、回归分析等。,主要内容,1.基本概念 2.对总体的描述随机变量的数字特征 3.对样本的描述样本分布的数字特征 4.随机变量的分布 5.通过样本，估计总体估计量的特征 6.通过样本，估计总体估计方法 7.通过样本，估计总体假设检验,第一节 基本概念,总体和个体 样本和样本容量 随机变量 统计量,1.1总体、个体、样本和样本容量,研究。

15、统计学认为，总体就是一个随机变量X，它的分布称为总体分布。数理统计的基本问题就是推断总体的分布。,数理统计基础,X中抽取部分个体，称为抽样，即是 对X进行若干次观测，得到的就是n个随机变 量X1,X2, Xn ，称为样本，其中n为样本容 量，样本中的个体称为样品,样本观测值称 为样本值。,Review,为使样本具有充分的代表性，常进行简单 随机抽样，即要求：,数理统计基础,样本有随机性：总体中。