第七章 空间解析几何与向量代数

1、第4讲 直线与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系,2.两圆的位置关系,3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法,(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的,一半及半径构成的直角三角形计算.,(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：,AB 的斜率).,说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,4.圆的切线方程常用结论,(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.,1。

2、第4讲 直线与圆的位置关系,1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.,1.直线与圆的位置关系,2.两圆的位置关系,3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法,(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的,一半及半径构成的直角三角形计算.,(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：,AB 的斜率).,说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,4.圆的切线方程常用结论,(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的。

3、第8讲,轨迹与方程,1.(2016 年广东珠海模拟)已知 B(2,0)，C(2,0)，A 为动点，,ABC 的周长为 10，则动点 A 满足的方程为(,),解析：|AB|AC|BC|10，B(2,0)，C(2，0)，|AB|AC|6|BC|.,点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆(除去与 B，C 共线,二顶点)，且 2a6，c2.,b2a2c25.,答案：B,示的曲线是(,),AC,BD,答案：D,3.动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x20 的距离相,等，则动点 P 的轨迹方程为_.,y28x,的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为_.,考点 1,利用直接法求轨迹方程,例 1：如图 7-8-1，已知点 C 的坐。

4、第8讲 轨迹与方程,1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程. 2.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程.,1.(2016 年广东珠海模拟)已知 B(2,0)，C(2,0)，A 为动点，,ABC 的周长为 10，则动点 A 满足的方程为(,),解析：|AB|AC|BC|10，B(2,0)，C(2，0)，|AB|AC|6|BC|.,点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆(除去与 B，C 共线,二顶点)，且 2a6，c2.,故选 B.,答案：B,示的曲线是(,),A,B,C,D,答案：D,D,考点 1,利用直接法求轨迹方程,例 1：如图 7-8-1，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的直线CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的。

5、- 1 -,第五节 平面与直线方程,一 平面方程的各种形式二 直线方程的各种形式三 平面直线间的夹角及相互关系,- 2 -,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知平面的法向量为,设平面上的任一点为,必有,1 平面方程的点法式,且过点,一 平面方程的各种形式,- 3 -,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,- 4 -,解,所求平面方程为,化简得,例1求过三点,和,的平面方程.,- 5 -,由平面的点。

6、- 1 -,第四节 空间曲面与空间曲线,一 曲面方程的概念二 曲线方程的概念三 二次曲面的截痕法,- 2 -,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面方程的定义：,曲面的实例：,1 曲面方程的定义,一 曲面方程的概念,- 3 -,解,根据题意有,所求方程为,例1 求与原点,及,的距离之比为,的点的全体所组成的曲面方程.,- 4 -,根据题意有,化简得所求方程,解,例2 已知,求线段,面的方程.,的垂直平分,- 5 -,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,例3 方程 的图形是怎样的？,- 6 -,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨。

7、,空间解析几何与向量代数,第七章,7-7 空间直线及其关系,一、空间直线的一般方程,空间上任何两个不平行的平面的交点在一条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程组表示,直线的一般方程,(交面式),上述直线也等价于,几何上，一条直线可看作任意两个过该直线且不平行的平面的交线，即直线方程的表达式不唯一.,二、直线的对称式方程和参数方程,若给一定点及一向量，过此定点平行于已知向量可唯一确定一条直线.,M (x，y，z) 为直线 l 上任意一点，,则,对称式方程,反过来，任一点M(x, y, z)满足(1)，。

8、1,在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了。,恩格斯,2,第八章 向量代数与 空间解析几何,3,第一节 空间直角坐标系,定点,横轴,纵轴,竖轴,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,4,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,5,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,一个分量为零: 点在坐标面上.,两个分量为零: 点在坐标轴上.,6,为空间两点,由勾股定理，得,两点间的距离公式：,7,在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点.,设该点为M(0, 0, z) ,由题设。

9、1,第六章 向量代数与空间解析几何(二),典型例题,主要内容,堂上练习题,小结,2,一、主要内容,第4节 平面的方程,一、平面的点法式方程,经过点,法向量为,的平面的点法式方程为:,关键确定平面的法向量,3,一般地,过不在同一直线上的三点,的平面方程为:,-称为平面的三点式方程,4,平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般式方程,任意一个形如上式,的x、y、z的三元一次,方程都是平面方程.,熟记平面的几种特殊位置,5,平面一般方程的几种特殊情况,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于xOy 坐标面；,类似地可。

10、数量关系 第九章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中 : 空间形式 点 , 线 , 面 基本方法 坐标法 ; 向量法 坐标 , 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第 九 章 表示法 : 向量的模 : 向量的大小 , 一、向量的概念 向量 : (又称 矢量 ). 1M2M既有 大小 , 又有 方向 的量称为向量 向径 (矢径 ): 自由向量 : 与起点无关的向量 . 起点为原点的向量 . 单位向量 : 模为 1 的向量 , 。

11、习题7 4 习题7 4 1设是一个阶下三角矩阵 证明 1 如果的对角线元素 则必可对角化 2 如果的对角线元素 且不是对角阵 则不可对角化 证明 1 因为是一个阶下三角矩阵 所以的特征多项式为 又因 所以有个不同的特征值 即有个线性无关的特征向量 以这个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵 则有为对角阵 故必可对角化 2 假设可对角化 即存在对角阵 使得与相似 进而与有相同的特征值 又因为矩阵的特。

12、一 空间直角坐标系,这一章，我们为学习多元函数微积分学作准备，介绍空间解析几何。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的推广。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时也是一种很重要的数学工具。,本节先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、 空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；重点讨论空间基本图类平面，直线，常用的曲面和曲线。,重点,直线与平面、曲面和曲。

13、,第六节,三、旋转曲面,四、二次曲面,旋转曲面与二次曲面,第七章,一、空间直角坐标系,二、曲面及其方程,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,例1. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,离的点 .,2、空间两点间的。

14、第七单元 空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知 与 垂直，且 ，则ab12|,5|ba_, _。| |2、一向量与 轴和 轴成等角，而与 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的oxyoz方向角为_。3、 。acbcacba)()()( _4、若两平面 与 互相垂直，则 _k。0kzyxzyx205、通过两点(1,1,1) 和(2,2,2)且与平面 垂直的平面方程是-_。6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点( )，则该平面方程为1,2_。7、设平面 ，若 过点 ，则 又若 与平面092:zkyx)6,45(_;k成 角，则 。032z45_k8、一平面过点( ),它在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则该平面1,6ox3o。

15、1第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量 AB的模是（A ）A B C 6 D 9532. 设 a=（1,-1,3）, b=（2,-1,2） ，求 c=3a-2b 是（ B ）A （-1,1,5）. B （-1,- 1,5）. C （1,- 1,5）. D （-1,-1,6）.3. 设 a=（1,-1,3）, b=（2, 1,-2） ，求用标准基 i, j, k 表示向量 c=a-b 为（A ）A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D -2i-j+5k4. 求两平面 032zyx和 052zyx的夹角是（ C ）A B C D 435. 已知空间三点 M(1,1,1)、A (2,2,1)和 B（2，1，2） ，求AMB 是（ C）A B C D 26. 求点 )10,(到直线 L： 1。

16、高等数学第 - 1 - 页 共 6 页第七章 空间解析几何与向量一、理解空间直角坐标系1. 空间点 的坐标：M通过 分别向 ， x， 轴作垂直平面，yz即可得出空间点 的坐标。2.空间有向线段的坐标：空间内两点 和 ，),(1zyxA),(2zyxB则有向线段 坐标为：。,1212zyx3.空间两点间的距离公式：空间内两点 和 ，),(1M),(2zyxN则 。122|xN由点 分别向 ，N、 x， 轴作垂直平yz面，将形成一个长方体， 即为长方体M的对角线。【例题 1】在 轴上求一点 ，使 到点zP)7,41(A和到点 等距离。)5,6(B解：由已知 ，0zB2)7(1PA5362zB)()(解得 即可。z【例题 2】 ， ，。

17、第七章 空间解析几何与向量代数 327 4 空间曲线及其方程内容提要：空间曲线的一般方程、参数方程；空间曲线在坐标面上的投影重点分析：空间曲线的一般方程、参数方程；空间曲线在坐标面上的投影难点分析：空间曲线在坐标面上的投影一、空间曲线的一般方程空间曲线 C可以看作两个曲面的交 线，即 空间曲线的一般方程，(,)0FxyzG特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。例 1 方程组表示 怎样的曲线？2136xyz解： 表示母线平行于 z 轴的圆柱面，2xy其准线是面 上的圆，圆心在原点 O，半径。

18、第七章 空间解析几何与向量代数1求点(2, 3,1) 关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点. 解答：（1）xOy 面： ,，yOz 面： 2,31，zOx 面： 2,31；（2）x 轴： 231，y 轴： ,，z 轴： ,；（3） ,. 所属章节：第七章第一节难度：一级2求点（4，3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，3，5）到坐标原点的距离为 222(40)(3)(50)，点（4，3，5）到 x轴的距离为 222()()()4，点（4，3，5）到 y轴的距离为 403501，点（4，3，5）到 z轴的距离为 222()()().所属章节：第七章第一节难度：一级3把两点（1，1，1）和（1。

19、第七章 空间解析几何与向量代数,1/26,第一节 向量及其线性运算,向量的概念 向量的线性运算 空间点的直角坐标 利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、投影 小结、作业,2/26,向量（矢量）：,既有大小又有方向的量.,模长为1的向量。,零向量：,模长为0的向量,向量的模：,向量的大小,单位向量：,一、向量的概念,或,或,向量的记法：,（方向任意）。,向量的表示：,3/26,自由向量：,不考虑起点位置的向量（默认）.,相等的向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,起点在原点的向量。,平行的向量：,4/26。