1、,空间解析几何与向量代数,第七章,7-7 空间直线及其关系,一、空间直线的一般方程,空间上任何两个不平行的平面的交点在一条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程组表示,直线的一般方程,(交面式),上述直线也等价于,几何上，一条直线可看作任意两个过该直线且不平行的平面的交线，即直线方程的表达式不唯一.,二、直线的对称式方程和参数方程,若给一定点及一向量，过此定点平行于已知向量可唯一确定一条直线.,M (x，y，z) 为直线 l 上任意一点，,则,对称式方程,反过来，任一点M(x, y, z)满足(1)，则,因 M0 在 l 上，故 M 也在 l上，故(1)
2、即为直线 l 的方程.,在(1)式中，令,则,t为参数.,直线的参数方程,约定：,例1.求过点 A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3)的直线 l 的对称式方程、参数方程及一般方程.,解：l 的方向,则得 l 的对称式方程,参数方程,上面方程组中，x=1为一平面，后面两方程去掉参数 t 得,故得一般方程,例2. 用对称方程及参数方程表示直线,l：,解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上一定点和 l 的方向即可.,现求一定点. 将联立方程组,相加:,令z = 1得 x = 3, y=1,得一定点(3, 1, 1). 故得对称式,即而得参数方程：,x = 3 + 4t,y = 1 t
3、,z = 1 3t .,t 为参数.,三、两直线的夹角,特例：,l1 / l2,l1 l2,四、直线与平面的夹角,我们称直线 l 与它所在平面 上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求 ).,l,设直线 l ：,平面 ：,例3. 求过点M0(1, 2, 4)且与平面x 2y+z 4=0垂直的直线方程.,则 直线方程为：,例4. 求直线,与平面,的交点.,解：令,x=2+t, y=3+t, z=4+2t.,代入平面方程,2(2+t)+3+t+4+2t6=0.,5t+5=0,得x=1, y=2, z=2.,t= 1,例5. 求过点M0(3, 3, 0)且与直线.,l1:,垂直相交的直线 l
4、 的方程.,解：,M0,M1,l1,设所求直线 l 与 l2 与交点为M1(x1, y1, z1).,则,令, t + t + 22t 6 = 0.,t =1,得 (x1, y1, z1)=(1, 1, 2).,故直线方程为,例6. 求直线 l1:,x+y1=0,y+z+1=0,在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程.,解：直线l1的方向,=(1, 1, 1).,再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解,x+y 1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.,消元,x + y 1 = 0,y+z+1=0,y+2z+2=0.,x + y 1 = 0,y+z+
5、1= 0,3z+3= 0.,得(x0, y0, z0)=(1, 0, 1).,M0,l1,n,M1,任取 l1上(不在 上)一点M1(x, y, z)=(0, 1, 2) .,作过 M1且垂直于 的直线l2 :,设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足,22t +1+t+2(2+2t )=0,得交点 M2(x2, y2, z2),所求直线方程为,即,思想：, 求直线与 交点M0；, 求直线上平面 外一点M1 ；, 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ;, 求 l2 与 的交点M2 ；, 求过M0，M2 的投影直线方程.,M0,l1,n,M1,事实上，我们利用了直线的
6、另外一种表达式,两点式,设l: 过点 M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1).,则 l :,下面我们用平面束来解题,设直线 l ：,A1x+B1y+C1z+D1=L1(x, y, z)=0, 1,A2x+B2y+C2z+D2=L2(x, y, z)=0, 2,令 (1, 2):,1L1(x, y, z)+ 2L2(x, y, z)=0,称 (1, 2)为平面束.,命题1. 平面束 (1, 2)为过直线 l 的平面, 且任何过 l 的平面都对应于平面束中某一平面.,证：显然, (1, 2)对,都表示平面,且过 l. 现设平面 为过 l 及 l 外某一点(x1, y1, z1
7、)的平面.,令1: 2满足：,1L1(x1, y1, z1)+ 2L2(x1, y1, z1)=0,则平面束中对应于方程,L2(x1, y1, z1)L1(x, y, z) L1(x1, y1, z1)L2(x, y, z)=0.,例6新解,例6. 求直线 l :,x+y1=0,y+z+1=0.,在平面 ：2x+y+2z=0上的投影直线方程.,解：由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直于的平面1，即由直线的一般形式(也称交面式)求得投影直线.,过 l 的平面束为,得1：, 投影直线为,xz 2=0, 过1,2x+y +2z=0, 过.,令 1=1,即,小结,空间平面,空间直线,一般形式,法点式,截距式,(三元一次方程),Ax+By+Cz+D=0.,交面式,对称式:,参数形式:,两点式:,(一般形式)：,三元一次方程组.,x=x0+mt,y=y0+nt ,z=z0+pt ;,关系,直线间夹角：,平面间夹角：,直线与平面间夹角：,直线在平面上的投影：,过直线的平面束中的,一条垂直于已知平面的平面,与已知平面的交线(交面式),点到直线的距离,点到平面的距离,Ax+By+Cz+D=0,数量积 向量积,平行,相交,垂直,
