1、第七章 空间解析几何与向量代数1求点(2, 3,1) 关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点. 解答：（1）xOy 面： ,，yOz 面： 2,31，zOx 面： 2,31；（2）x 轴： 231，y 轴： ,，z 轴： ,；（3） ,. 所属章节：第七章第一节难度：一级2求点（4，3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，3，5）到坐标原点的距离为 222(40)(3)(50)，点（4，3，5）到 x轴的距离为 222()()()4，点（4，3，5）到 y轴的距离为 403501，点（4，3，5）到 z轴的距离为 222()()().所属章节：第七章第一节难度：
2、一级3把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标. 解答：设分点坐标为 (,)xyz，则由条件 11220xyz，解得51,3xyz，即所求分点坐标为 5,3.所属章节：第七章第一节难度：一级4设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为 a，求各顶点的坐标. 解答：各顶点的坐标为：0,0,0,.aaa所属章节：第七章第一节难度：一级5在 yOz 平面上求一点，使它与点 A（3，1，2） ，点 B（4，2，2）和点C（0， 5，1）的距离相等.解答：设所求点为 (0,)Pyz，则由条件有 PC，故222222222(3)(
3、)(4)()()(0)(5)(1)yyzyz，解得 1,z.即所求点为 (0,1).所属章节：第七章第一节难度：一级6在 z 轴上求一点，使它到点 A（4，1，7）和点 B（3，5，2）的距离相等. 解答：设所求点为 (0,)Pz，则由条件有 P，故222222(4)17(03)(5)()z，解得 19z.即所求点为 4(,)9.所属章节：第七章第一节难度：一级7已知向量 a 和 b 的夹角为 60，且 5,8,ab试求 ab和 .解答：由于 22( cos129)b=，代入已知条件，即可得 129ab；又由于 2( cos49ab)=ab，故 7ab.所属章节：第七章第三节难度：二级8设向量
4、 a 和 b 的夹角为 23，且 3,4,ab试求：（1） （2） 3解答：（1） 2cos34cos6ab=；（2） ()(2) 1ab=.所属章节：第七章第三节难度：二级9设 23,AabBab其中 2,1,ab向量 a 和 b 的夹角为 3，试求 及 Proj.解答： 22(23)()637637cos28ABabababa；由于2 22(3)()9696cos31=ababab，所以 831ProjBA.所属章节：第七章第三节难度：二级10设 2,1,2,kAabBab且 ,ab问：（1）k 为何值时， ;A（2）k 为何值时， A 与 B 为邻边的平行四边形面积为 6.解答：(1)
5、要使 AB，则 0，即2()()()0kkababab，代入条件即 24k，解得2k； （2）要使以 A 与 B 为邻边的平行四边形面积为 6，即 6，代入条件即 3k，解得 1k或 5.所属章节：第七章第四节难度：二级11已知向量 a+3b 垂直于向量 7a5b,向量 a4b 垂直于向量 7a2b,试求向量 a 与 b 的夹角.解答：因为 a3b7a5b，a4b7a2b，所以 (a3b)(7a5b)0 (a4b)(7a2b)0， 即 7|a|216ab15|b|2 0 7|a|230ab8|b|2 0，由以上两式可得| 于是 21|) ,cos(ba， 3) ,(.所属章节：第七章第三节难度
6、：二级12设 ,2,abc求： ,.abca解答： ,()()()(2,4 bacabc.所属章节：第七章第四节难度：二级13设 3,26,10ab试求下列各向量的坐标：（1） ; （ 2） ;b （3） 1.ab解答：（1） ,6=+=； （2） 12,0,2b； （3） 13,6,3a=.所属章节：第七章第二节难度：一级14求向量 2aijk的模以及它与坐标轴之间的夹角.解答： 1()；与坐标轴的夹角余弦分别为 121cos,cos,cos2aaa，故与坐标轴的夹角分别为 60,45 ,60.所属章节：第七章第二节难度：一级15已知一向量的起点是 A(2,2,5),终点是 B(1,6,7)
7、, 试求：（1）向量 B在各坐标轴上的投影；（2）向量 的模和方向余弦；（3） A的单位向量 .解答：由于向量 3,82B，所以（1）向量 AB在各坐标轴上的投影为 382， ， ；（2）向量 的模 22(3)87，方向余弦为 cos,cos,cos7；（3） AB的单位向量 382,7AB.所属章节：第七章第二节难度：一级16已知向量 3,12的起点坐标为（2，0，5） ，求它的终点坐标.解答：终点坐标为 ,5,13.所属章节：第七章第二节难度：一级17 已知向量的终点为 B（2，1，7） ，它在坐标轴上的投影依次为 4、4和 7，求该向量起点 A 的坐标.解答：起点 A 的坐标 ,4,2,
8、30.所属章节：第七章第二节难度：一级18已知向量 1,52,35,ab求与 3ab同向的单位向量 .解答：由于 310,，单位化，与 ab同向的单位向量为 125,10,33ab.所属章节：第七章第二节难度：一级19设向量 ,513,llmab且 /ab，试求 l 与 m 的值.（题目与解答不统一）如果题目中向量为 ,513,，则答案为15,.lm即原参考答案，下面按原题解答.参考答案： 1,.5l解答：由于 /ab，所以 3lm，解得 15,l或 15,lm.所属章节：第七章第二节难度：一级20已知向量 32,3,aijkbijk试求 ab与 .解答： 1()(1)b；325,7ija.所
9、属章节：第七章第四节难度：一级21已知 1,234,32,4ABC、 、 和 8,6D，试求向量 AB在向量CD上的投影.解答： 3,26， ,23D， 4Proj7CDAB.所属章节：第七章第四节难度：一级22设直线 L 通过点（ 2，1，3）和（0，1，2） ，求点（10，5，10）到直线 L 的距离.解答：设 (2,13)(0,2)(1,50)ABP，点 到直线 L的距离为 d，则4768,2,1PAB利用 2ABS， 2PABSd，解得10d.所属章节：第七章第四节难度：二级23求点（1，3，2）关于点（1，2，1）的对称点.解答：设 (,)(1,2)AB，所求点为 (,)Cxyz，由
10、题意知 ABC，即,5xyz，解得 370.所属章节：第七章第四节难度：一级24求以向量 25,3,25aijbkcj为相邻三棱的平行六面体的体积.解答：由于0,4c，所以所求六面体的体积为,2Vab.所属章节：第七章第四节难度：三级25试证 2,1,2,30ABC和 5,6D四点共面. 解答：由题意 42314A，由于,0314D，所以 ,ABC四点共面.所属章节：第七章第四节难度：三级26确定球面 22470xyzxyz的球心和半径.参考答案：球心 1,.R（本题参考答案有误）解答：将原方程 22xyzxyz配方，得2(1)()()9xy，故球心为 (1,2)，半径为 3R.所属章节：第七
11、章第五节难度：一级27一球面过坐标原点和 2,01,01ABC、 、 三点，试确定该球面的方程. 参考答案： 221.xyz解答：设球面的方程为 22000()()()xyzR，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得 ,1z，即球面方程为 2211xyz.所属章节：第七章第五节难度：二级28试求与 12,34,1M、 距离相等的点的轨迹方程.参考答案： 407.xyz解答：设动点坐标为 (,)P，则由条件有 12PM，故有22222()1)3(4)()()xyzxyz，化简得 407.所属章节：第七章第五节难度：一级29指出下列方程所表示的曲面：（1）221;xy（2）21;49xy（3）2;
12、49yz（4） 2z解答：（1）母线平行于 z 轴的圆柱面；（2）母线平行于 z 轴的双曲柱面；（3）母线平行于 x 轴的椭圆柱面；（4）母线平行于 x 轴的抛物柱面.所属章节：第七章第五节难度：一级30说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称：（1）221;4yxz（ 2） 24;xyz（3）22;69（4） 22z解答：（1）旋转单叶双曲面，它是由双曲线21,40yxz或21,40yx绕 y 轴旋转而成；（2）旋转抛物面，它由抛物线24,0xzy或2,yzx绕 z 轴旋转而成；（3）旋转双叶双曲面，它是由双曲线21,69y或21,690yx绕 z 轴旋转而成；（4）圆锥面，它由相交的两条直
13、线24,0xzy或24,0zx绕 z 轴旋转而成.所属章节：第七章第五节难度：一级31建立下列旋转曲面的方程：（1）曲线25:,0zxLy绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面；（2）yOz 平面上的椭圆2149z绕 z 轴旋转一周所生成的曲面；（3）xOy 平面上的双曲线 236xy绕 y 轴和 x 轴旋转一周所生成的曲面；（4）直线 2,0yxz绕 x 轴旋转一周所生成的曲面.解答：（1） 25;（2）21;49xyz（3）绕 y 轴： 22436,xyz绕 x 轴： 9;（4） 220.yz所属章节：第七章第五节难度：一级32指出下列方程所表示的曲线：（1）225.3;xyz（2） 2214
14、5,0;xyz（3）21;940x（4）2;1z（5）221;16940.xyz解答：（1）平面 x=3 上的圆；（2）平面 y=1 上的圆；（3）平面 x=2 上的双曲线；（4）平面 z=1 上的抛物线；（5）平面 x=2 上的椭圆.所属章节：第七章第五节难度：一级33求曲线2236,xyz在 xOy 平面上的投影曲线.（原参考答案有误）解答：在所给方程中消去 z，得 21xy，加上 0z，即得230xyz.所属章节：第七章第五节难度：一级34求曲线2,1zxy在 xOy 平面上的投影曲线.解答：在所给方程中消去 z，得2213xy，加上 0z，即得22130xyz.所属章节：第七章第五节难
15、度：一级35求下列曲线在 xOy 平面上的投影：（1）2241,;xyz（2）224,1.xyz解答：（1）在所给方程中消去 z，得 53，加上 0，即得25310xyz；（2）在所给方程中消去 z，得 24xy， 加上 0z，另外由1xyz知 221yx，故 ，于是投影曲线为24xyz且 .所属章节：第七章第五节难度：二级36求曲线 221,xyz在各坐标面上的投影：?解答：xOy 面：23,40zyOz 面： 210,zx且 3;2y xOz 面： 1,y且 .2 所属章节：第七章第五节难度：二级37求下列各平面的方程：（1）平行与（于）Oy 轴，且通过点（1，5，1）和（3，2，2） ；
16、（2）通过 Ox 轴和点（4，3，1） ；（3）平行于 xOz 平面，且通过点（3，2，7）.解答：（1）由于所求平面平行于 Oy 轴，故可设方程为 0AxCzD，将另外两点坐标代入即得 50xz；（2）由于所求平面通过 Ox 轴，故可设方程为 Byz，将另一点坐标代入即得 30yz；（3）由于所求平面平行于 xOz 平面，故可设方程为 0ByD，又通过点 (,27)，故 2y.所属章节：第七章第六节难度：一级38. 设点 P（3，6，2）为原点到一平面的垂足，求该平面的方程 .解答：法向量为 3,62nO，所求平面的方程为()()()0xyz，即362490z.所属章节：第七章第六节难度：一
17、级39求通过两点（8，3，1）和（4，7，2） ，且垂直于平面50xyz的平面方程.解答：由条件可设法向量为 4,13,51,50n，由点法式方程得 5067xyz.所属章节：第七章第六节难度：二级40求通过点 1,2P且垂直于两平面 0xy和 5z的平面方程. 解答：由条件可设法向量为 ,0,51,n，由点法式方程得540xyz.所属章节：第七章第六节难度：二级41求一个通过点 1,5和 3,21且平行 y 轴的平面方程. 解答：由条件可设法向量为 2,70,n，由点法式方程得 xz.所属章节：第七章第六节难度：二级42求 a 和 b 的值，使：（1）平面 2350xyz与 620bxyz平
18、行；（2）平面 a与 35垂直. 解答：（1）要使平面 xyz与 xyz平行，则两个法向量平行，故有 236ab，解得 218,3ab；（2）要使平面 50xyz与 250xyz垂直，必须两个法向量垂直，故有 3()2，解得 6a.所属章节：第七章第六节难度：一级43求过点（2，3，8）且平行于直线 24335xyz的直线方程. 解答：由于两直线平行，方向向量相同，故得所求直线方程 2385xyz.所属章节：第七章第七节难度：一级44求过点（4，2，3）且垂直于平面 2310xyz的直线方程. 解答：由于所求直线垂直于已知平面，它的方向向量与该平面的法向量相同，即 1,s，于是所求方程为 41
19、.所属章节：第七章第七节难度：一级45求过点（1，2，1）且平行于直线 210,xyz的直线方程. 解答：已知直线的方向向量为 1,3,s，所求直线方向向量与它相同，于是所求直线方程为 213xyz.所属章节：第七章第七节难度：二级46试求下列直线的标准方程：（1） 240,39;xyz （2） 350;8.xzy 解答：（1）令 ，代入方程，求得直线上一点坐标为 (,14)，方向向量为 2,413,29,710s ，于是标准方程为 ;970xyz（2）令 0z，代入方程，求得直线上一点坐标为 (5,8)，方向向量为 1,3,23,1s，于是标准方程为 58.xyz所属章节：第七章第七节难度：
20、二级47确定下列直线与平面的位置关系：（1） 3427xyz与 230;xyz （2） 与 6149.解答：（1）直线的方向向量 ,7s，平面的法向量 4,2n，易证sn，故所给直线与平面平行；（2）直线的方向向量 3,2s，平面的法向量 6,1，易证 snA，故所给直线与平面垂直.所属章节：第七章第七节难度：一级48确定下列直线间的平行或垂直关系：（1） 27,xyz与 368,20.xyz （2） 1,yz与 1,3.xz解答：（1）直线 27,yz的方向向量为 1213,5ijks，直线 368,20.xyz的方向向量为 2369,1ijks，由于它们平行，所以两条直线平行；（2）直线
21、21,xyz的方向向量为 120,12ijks，直线 ,23.xyz的方向向量为 2,10ijks，由于它们垂直，所以两条直线垂直.所属章节：第七章第七节难度：二级49求直线 2132xyz与平面 380xyz的交点和交角.参考答案： 971,arcsin.54 （参考答案有误？）解答：将直线方程 2132xyz改写成参数形式321xtyzt，代入所给平面方程 280yz，解得 t，再代回直线方程，即得交点 (,)；由于直线的方向向量为 3,12s，平面的法向量 2,3n，所以交角的正弦为 57sin44，于是交角为 157arcsi4. 所属章节：第七章第七节难度：二级50求点（3，1，1）
22、在平面 230xyz上的投影.解答：过已知点 3,1向已知平面作垂线 123xyz，参数形式为231xtyzt，代入已知平面解得参数 167t，于是交点也即所求投影点为754,.所属章节：第七章第七节难度：二级51求点（2，3，1）在直线 7213xyz上的投影.解答：过已知点作垂直于已知直线的平面 (2)(1)3()0xyz，再将已知直线的参数方程723xtyzt代入，即得参数 t，两者交点即所求投影点为 (5,24).所属章节：第七章第七节难度：二级52在平面 1xyz上求作一直线，使它与直线 1,yz垂直相交.解答：由于所求直线与直线 ,1yz垂直，故可作平面平行与该已知直线，得平面方程
23、 0x，联立已知平面方程 xyz，得一条直线 01xyz，又由于所求直线与直线 1,yz相交，将 1,代入直线方程01xyz，可得 0x，于是所求直线方程为 xyz，即.所属章节：第七章第七节难度：三级53通过点（1，0，4）作一直线，使它平行于平面 3410,xyz且与直线 32xyz 相交.解答：过点（1，0，4）作一平面，使它平行于平面 xyz，得30xyz，由于所求直线与已知直线 132xyz 相交，将已知直线方程化为参数方程312xtyzt，代入平面方程 3410xyz，得交点 41372(,)，此为所求直线上另一点，过两点作出直线 874，即为所求.所属章节：第七章第七节难度：三级
24、54求两异面直线 12xyz和 1234xyz之间的距离.解答：分别在两条已知直线上任取一点，如取 (,0)(,12)PQ，连接两点得向量 1,PQ，作与两条已知直线都垂直的向量,2342,s，则所求距离为 23Pr1sQsdoj.所属章节：第七章第七节难度：三级55一直线通过点（1，2，1）并与 2xyz相交，且垂直于直线1,3xyz求它的方程.解答：过已知点 (2)P作垂直于已知直线 132xz的平面，得:80xyz，它与已知直线 2交于点 68(,)7Q，连接 ,PQ，即得所求直线1135z.所属章节：第七章第七节难度：二级56求通过直线 0,2xyz且平行于直线 xyz的平面方程.解答
25、：过直线 ,0xy的平面束为 (2)0，即(1)()2z，由于它与直线 xyz平行，故，解得 ，于是所求平面方程为 3240xyz.所属章节：第七章第七节难度：二级57求通过直线 240,39xyz且垂直于平面 41xyz的平面方程.解答：过直线 20xyz的平面束为 2(329)0z，即(23)(4)(1)9z，由于它垂直于平面 41xyz，故两者的法向量平行，解得 3，代回平面束方程，即得所求平面方程1770xyz.所属章节：第七章第七节难度：二级58过两平面 0xyz和 20xyz的交线，作两个互相垂直的平面，且使其中一个平面通过点 A（0，1，1）.解答：过两平面 z和 z的交线的平面束方程为(2)xyzxy，即 ()(12)()0xyz，由于其中一个平面经过点 0,1A，将此点坐标代入平面束方程，得 2，得到一个平面3xyz，由于平面束中的另一个平面与上面平面垂直，利用法向量垂直，解得9810xyz.所属章节：第七章第七节难度：三级
