1、8 重要平面曲线表三次曲线方 程 与 图 形 特 征2xcbay)4(122acbcxay(a 0 , b0) (a 0 , bnma 时 ）O(0, 0)极值点 当 ba 时有 4 个，当 ba 时有 2 个：当 b 从 0 变到时，所有极值点构成蔓叶)5,431(8cos, 21 kDCk和线 sin2拐点（ab 2a 时） abFE32cos,二重切线的切点（b2a 时）： )3,2(4, 22kabbHGk这些切点在圆 = acos上蜗线所围成的面积2S（当 ba 时，内圆的面积计算了两次）注 当 b=a 时，即为心脏线.卡西尼卵形线 4222)()( cayxcyx或 )0(sino
2、s24曲线是使 MF1MF2 = a2 的点 M 的轨迹（F 1, F2为固定焦点， F1F2 = 2c，a 为常数）.顶 点 )0,(,cBA )5,43(kk极值点 ),(2C),1(,4, cacHGkk或 2sin,ca当 a 从 0 变到 时，所有极值点构成一个圆（半径为 c）拐 点 )(与)4,321(,2knmEk其中 2443,ca或 2cos,m当 a 从 c 变到 时 ，所有拐点构成双 纽线注当 a=c 时，即为双纽线.心脏线 222)()( yaxyx或 )cos1(sintta或 双纽线 0)(2)(22 yxayx或 cos普通旋轮线（摆线）与atyx()cos1(i
3、n或 yyxrcos2（i（ 它是使 OM = OP a 的点 M 的轨迹（a 为圆的直径，P 为圆 周上的一点）（ii） 它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆的直径相等）尖 点 O(0, 0)顶 点 A(2a, 0)极值点 DC43二重切线的切点 aFE,曲线长 L = 8a面 积 23S（i（ 它是使 MF1 MF2 = a2 的点 M的轨迹（OF 1 = a）（ii（ 它是使 OM = PQ 的点 M 的轨迹（P, Q 在圆心为 F1，半径 为的圆周上）2结 点 （同拐点）O(0, 0) ，在该点的切线的斜率为 1顶 点 )0,(,aBA极值点 23aDC与与曲率半径 2R双纽面积 S =
4、2a2曲线是一圆周沿 x 轴滚动 而无滑动时，圆周上一点 M 所描成的轨迹（圆的半径为 a）周 期 T = 2a极值点 ),1(),1(kkA曲率半径 2sin4tR渐屈线 为一旋轮线（图中虚线）拱 长 aLOA81长（或短） 辐旋轮线（次摆线）与ataytx()cos1(in长轴(1)短轴(0, k0)2xke 顶点（同极大点） A(0, a)拐点 B,C ek,21该点切线的斜率为 曲线与 x 轴间 的面积 kaS曲线关于 y 轴对 称标准正 态分布曲线（高斯曲线）y= 21xe顶点 A(0, 0.3989)21拐点 B,C( )e曲线与 x 轴间 的面积为 1曲线关于 y 轴对 称一般正态分布曲线y= 2)(1mxe阻尼振动曲线y=A (A0)sin(0xea 顶点（同极大点） A(m, )21拐点 B,C(m )e,曲线与 x 轴间 的面积为 1曲线关于直线 x=m 对称与 x 轴的交点 Bk (k=1,2)0,与 y 轴的交点 C(0,Asin 0)极值点 Ak 的横坐标为（式中 tan ）a0a拐点 Dk 的横坐 标为（式中 tan ）20曲线与两条指数曲线y= 相切，切点axAePk axkAe)1(,20
