1、第8讲,轨迹与方程,1.(2016 年广东珠海模拟)已知 B(2,0)，C(2,0)，A 为动点，,ABC 的周长为 10，则动点 A 满足的方程为(,),解析：|AB|AC|BC|10，B(2,0)，C(2，0)，|AB|AC|6|BC|.,点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆(除去与 B，C 共线,二顶点)，且 2a6，c2.,b2a2c25.,答案：B,示的曲线是(,),AC,BD,答案：D,3.动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x20 的距离相,等，则动点 P 的轨迹方程为_.,y28x,的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的
2、方程为_.,考点 1,利用直接法求轨迹方程,例 1：如图 7-8-1，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的直线CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程.图 7-8-1,解：方法一(直接法)，设点 M 的坐标为(x0，y0)，则点 A 的坐标为(2x0,0)，点 B 的坐标为(0,2y0)，,kCA,2 22x0,，kCB,22y0.2,因为直线 CA 垂直于直线 CB，,所以 kCAkCB,2 22x0,22y02,1.,化简，得 x0y020.所以点 M 的轨迹方程为 xy20.,
3、方法二(参数法)，若 CAx 轴，则 CBy 轴，故点 A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标为(0,2)，所以点 M 的坐标为(1,1).若 CA 不垂直于 x 轴，则设直线 CA 的方程为 y2k(x2)，,两式相加，得 x0y02，即x0y020(x01).又点(1,1)在直线 x0y020 上，所以点 M 的轨迹方程为 xy20.,方法三(定义法)，观察图象，显然|OM|,|AB|2,|CM|，即点,M 到点 C，O 的距离相等，故点 M 在线段 OC 的垂直平分线上.,又线段 OC 的垂直平分线过 OC 中点(1,1)，斜率 k1，即 y1(x1)，化简，得 xy20.所以点 M 的
4、轨迹方程为 xy20.,【规律方法】求轨迹的步骤是“建系、设点、列式、化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系.,【互动探究】的一个焦点，且双曲线的离心率为 2 ，则该双曲线的方程为,_.,考点 2,利用定义法求轨迹方程,例 2：(1)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_；若动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_；若动圆 M 与圆 C1 外切及圆 C2 相内切，则动圆圆
5、心 M 的轨迹方程为_；若动圆 M 与圆 C1 内切及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.,解析：如图 D48，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点,A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得,图 D48,|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|. 因为|MA|MB|， 所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312.,这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)，这里 a1，c3，则 b28.理可得后面三个小题.,(2) (由人教版选修11P427
6、改编)已知圆(x2)2y236的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线,交线段 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是(,),A.圆C.双曲线,B.椭圆D.抛物线,解析：点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA |PN|.又AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA |AM|6|MN|.由椭圆的定义知，点 P 的轨迹是椭圆.答案：B,(由人教版选修11P545改编)已知圆 (x2)2y21 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交,直线 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是(,),A.圆C.双曲线,B.椭圆D.抛物线,解
7、析：点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA |PN|.又AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA |AM|1|MN|.由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是双曲线.答案：C,【互动探究】,解析：设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16.M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆.则 2a16，2c8.a8，c4.b2a2c248.,故所求的轨迹方程为,x2 64,y2 48,1.故选 D.,答案：D, 1.,3.已知动圆 M 过定点 A(3,0)，并且内切于定圆 B：(x3)2,y264，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.,解析：设动圆 M 半径为 r，根据两圆相切
8、的充要条件，得|MB|8r，|MA|r，所以|MA|MB|8.这表明动点 M 到两定点 A，B 的距离之和是常数 8，根据椭圆的定义，动点 M 的轨迹为椭圆，这里 a4，c3，则 b27.设点 M 的坐标为(x，y)，,则其轨迹方程为,x2 16,y27, 1.,x2 16,y27,4.已知动圆 M 与圆 C1：(x3)2y264 内切，与圆 C2：(x 3)2y24 外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.解：设动圆 M 的半径为 r，根据两圆相切的充要条件，得|MC1|8r，|MC2|2r.所以|MC2|MC1|10.这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之和是常数 10.根据椭圆的定义，
9、动点 M 的轨迹为椭圆，即 2a10，a5.又|C1C2|62c，则c3，b2a2c216.设点 M 的坐标为(x，y)，,则其轨迹方程为,x2 25,y2 16,1(x5).,考点 3,利用相关点法求轨迹方程,点 P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上两个不同的动点.求直线A1P与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程.,【互动探究】,答案：A,思想与方法轨迹方程中的分类讨论例题：(由人教版选修11P35例3改编)已知动点P(x，y)与两个定点M(1,0)，N(1,0)的连线的斜率之积等于常数(0).(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)试根据的取值情况讨论轨迹 C 的形状.解：(1)
10、由题设知，PM，PN 的斜率存在且不为 0，,(2)讨论如下：,当0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲,线(除去顶点)；,当10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的,椭圆(除去长轴上的两个端点)；,当1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除,去点(1,0)，(1,0)；,当1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭,圆(除去短轴上的两个端点).,【互动探究】6. (人教版选修11P35例3)设点 A，B 的坐标分别为(5,0)，求点 M 的轨迹方程.解：设点 M 的坐标为(x，y)，,7.设点 A，B 的坐标分别为(5,0)，(5,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是1，求点 M 的轨迹方程.,8. (人教版选修11P48探究)设点A，B的坐标分别为(5,0)，点 M 的轨迹方程.,
