6.1-代数系统

1、简称是可控的）。
可达性定义：对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。
,离散系统：,(6-1),3,推导离散系统可控及可达应满足的条件,1. 可达性条件 利用迭代法,(6-3),为使,唯一存在，应满足下述充分必要条件：,（1）x是n维向量，所以(6-3)必须是n维线性方程，故N=n。
（2）必须满足：,依式(6-3)可得允许控制,4,推导离散系统可控及可达应满足的条件,2. 可控性条件,(6-3),为使上述线性方程组有解，必须,若F 是可逆的，则,或,N=n,可控阵,系统状态完全可控的充分必要条件,可控性与可达性一致,由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，故采样系统的可达性与可控性一致。
,5,6.1.2 可观性,可观性定义：对式(6-1)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。
,系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系统的自由。

2、统，为二元运算，如果 运算是可结合的，则称 V 为半群. 实例 （1）,都是半群，+是普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，和都是半群，其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）为半群，其中为集合的对称差运算. （4）为半群，其中 Zn=0,1, , n1，为模 n 加法. （5）为半群，其中 为函数的复合运算. （6）为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义 如下：x, yR*, x y =y,5,元素的幂运算性质,元素的幂运算定义 设V=为半群，对任意 xS，规定： x1 = x xn+1 = xn x,nZ+ 幂运算规则： xn xm = xn+m (xn)m= xnm m, nZ+ 证明方法：数学归纳法,6,特殊的半群,定义 设V = 是半群(1) 若 运算是可交换的，则称V 为交换半群 .(2) 若 eS 是关于 运算的单位元，则称 V 是含幺半群，也叫做 独异点. 独异点 V 记作 V = ,7,独异点的幂,独异点的幂运算定义 x0 = e xn+1 = xn x。

3、代数的发展过程,一元四次方程 Ferrari L化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程失败：Euler L(1707 -1783) 、Van de monde、Lagrange J L、Ruffini P、Gauss K F19世纪 法国青年数学家 Galois :五次以上方程无根式解,Galois(18111832)-近世代数的创始人,Evariste Galois,近世代数的特点 - 抽象 代数系统： 群 环 域 格 布尔代数,离散数学II,第六章 群 与 环,6.1 代 数 系 统,代数运算的定义及其性质代数系统的定义,二元代数运算 设S是一个非空集合，称SS到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f（a，b）= c，常记为a * b = c。
Note： 代数运算是闭运算。
该运算具有很强的抽象性，不限于+，-， *，/，意义很广泛。
类似地，可定义S的n元代数运算： Sn到S的映射。
,代数运算的定义,加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运。

4、通缉古算经西方：16世纪 意大利数学家卡丹公式,Cardan J(15011576) 闻名全欧的医生、颇为人知的数学教授 精通赌博、占星术 Fontana N（Tartaglia）（1500-1557）自学成才的意大利数学家、工程师、军事科学家。
以发现三次方程的一般解法和始创弹道学而闻名。
1535年2月22日 意大利米兰大教堂 30个3次方程 Tartaglia -2个小时 Fior0题 1539年3月25日Cardan骗到公式并于1545年发表宣战：各出31题 Tartaglia -7天 Ferrari L - 5个月 1题,古典代数的发展过程,古典代数的发展过程,四次方程 Ferrari L化为求一个三次方程和两个二次方程的根五次方程失败：Euler L(1907 -1983) 、Van de monde、Lagrange J L、Ruffini P、Gauss K F19世纪 法国青年数学家 Galois :五次以上方程无根式解,Galois(18111832)-近世代数的创始人,Evariste Galois,Galois(181118。

5、 学习交流 线性空间是线性代数最基本的概念之一 也是一个抽象的概念 它是向量空间概念的推广 线性空间是为了解决实际问题而引入的 它是某一类事物从量的方面的一个抽象 即把实际问题看作向量空间 进而通过研究向量空间来解决实际问题 一 线性空间的。

6、 一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法唐朝数学家王孝通缉古算经西方：16世纪 意大利数学家卡丹公式,4,古典代数的发展过程,一元四次方程 Ferrari L(费尔拉里)化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程失败：欧拉(1707 -1783) 、范德蒙德、鲁菲尼、高斯等。
,5,拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在。
1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的看法. 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式? 阿贝尔去世(1829年, 26岁)前一直在竭尽全力地研究这个问题.,6,在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认.,7,伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年级. 15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通的师范。

7、 一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法唐朝数学家王孝通缉古算经西方：16世纪 意大利数学家卡丹公式,4,古典代数的发展过程,一元四次方程 Ferrari L(费尔拉里)化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程失败：欧拉(1707 -1783) 、范德蒙德、鲁菲尼、高斯等。
,5,拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在。
1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的看法. 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式? 阿贝尔去世(1829年, 26岁)前一直在竭尽全力地研究这个问题.,6,在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认.,7,伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年级. 15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通的师范。