1、离 散 数 学 (II),吉林大学计算机科学与技术学院 智能规划与自动推理教研室,古典代数与近世代数,古典代数的研究对象：方程以方程根的计算与分布为其研究中心近世代数的研究对象：代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数,古典代数的发展过程,一元一次方程 公元前1700年 一元二次方程 公元前几世纪 巴比伦人 一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法唐朝数学家王孝通缉古算经西方：16世纪 意大利数学家卡丹公式,Cardan J(15011576) 闻名全欧的医生、颇为人知的数学教授 精通赌博、占星术 Fontana N（Tartaglia）（1500-1557）自
2、学成才的意大利数学家、工程师、军事科学家。以发现三次方程的一般解法和始创弹道学而闻名。 1535年2月22日 意大利米兰大教堂 30个3次方程 Tartaglia -2个小时 Fior0题 1539年3月25日Cardan骗到公式并于1545年发表宣战：各出31题 Tartaglia -7天 Ferrari L - 5个月 1题,古典代数的发展过程,古典代数的发展过程,四次方程 Ferrari L化为求一个三次方程和两个二次方程的根五次方程失败：Euler L(1907 -1983) 、Van de monde、Lagrange J L、Ruffini P、Gauss K F19世纪 法国青年
3、数学家 Galois :五次以上方程无根式解,Galois(18111832)-近世代数的创始人,Evariste Galois,Galois(18111832)-近世代数的创始人,1829年3月 发表第一篇论文 1829年5月关于五次方程的代数解法问题Cauchy A 遗失；Fourier J 去世 1831年关于用根式解方程的可解性条件 Poisson S D:“完全不能理解” 1829年 父亲自杀；两次投考巴黎综合工科学校被拒绝，进入高等师范学校学习 1830年12月因抨击校长在“七月革命”中的两面行为被开除,Galois(18111832)-近世代数的创始人,1831年6月7月两次被捕
4、 1832年5月29日“请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性而不是正确性发表的他们看法。在这以后，我希望有人会发现将这堆东西整理清楚对他们是有益的。” 1832年5月29日决斗身亡 1846年 Liouville L纯粹与应用数学杂志 1870年 Jordan 论置换与代数方程 ,Galois(18111832)超越时代的天才,开创了置换群论的研究，彻底解决了一般方程的根式解难题。 发展了一整套关于群和域的理论-伽罗瓦理论。创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程，标志着数学发展现代阶段的开始。 用Galois理论可解决古希腊四大几何做图难题：将任意角三等分、倍立方、化圆为方、作
5、正n边形,近世代数的特点 - 抽象 代数系统： 群 环 域 格 布尔代数,离散数学II,第六章 群 与 环,6.1 代 数 系 统,代数运算的定义及其性质代数系统的定义,二元代数运算 设S是一个非空集合，称SS到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f（a，b）= c，常记为a * b = c。 Note： 代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性，不限于+，-， *，/，意义很广泛。类似地，可定义S的n元代数运算： Sn到S的映射。,代数运算的定义,加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算 加法、
6、减法、乘法都是整数集Z上的二元代数运算；除法不是Z上的二元代数运算 乘法、除法是非零实数集R* 上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算,代数运算的例子,矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。 设S是一个非空集合，（S） 是S的幂集，则、是（S）上的二元代数运算。 、 都是真值集合0，1上的二元代数运算。,代数运算的例子,设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b S ，a * b = b * a 都成立，则称运算 * 满足交换律。 例.设Q为有理数集合，对任意a,bQ ,定义Q上的运算如下 ：a b=a+b-a b，则是Q上的二元代数运算，且满足交换律：ab=
7、a+b-a b= b + a - b a= ba,代数运算的性质交换律,设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b，c S ，(a * b) * c = a *(b * c)都成立，则称运算 * 满足结合律。 例.设A是一个非空集合，对任意a,b A，定义A上的运算如下：ab=b，则是A上的二元代数运算，且满足结合律:(ab)c=bc = ca(bc)=ac = c,代数运算的性质结合律,设 * 是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a * a = a,则称a是关于运算 * 的幂等元。如果S中每个元素都是关于 * 的幂等元，则称运算*满足等幂律。 结论：若a是关于运算 * 的
8、等幂元，则对于任意正整数n，an=a .,代数运算的性质等幂律,设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于如果对于任意a，b，c S, a * （b + c） = （a * b） + （a * c）， （b + c） * a = （b * a） + （c * a） 都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。,代数运算的性质分配律,设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a，b S ， a * （a + b） = a ，a + （a * b） = a， 都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。,代数运算的性质吸收律,设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任
9、意三个元素a，b，c， （1）若 a * b = a * c，则b = c， （2）若 b * a = c * a，则b = c， 就称 * 满足消去律。 例. n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律.,代数运算的性质消去律,例. 整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。例. n阶实矩阵集合上的加法满足结合律，也满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。,代数运算性质例,例.设（S） 是非空集合S的幂集，则（S）上的交运算
10、、并运算都满足结合律，交换律，对、对都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律,但、不满足消去律。 例.设S是所有命题的集合，则S上的、都满足结合律，交换律， 对、对都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律,但、不满足消去律。,代数运算性质例,设S是一个非空集合，f1，fm是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1，fm看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（S， f1，fm）,代数系统的定义,例. 设S是一个非空集合，（S） 是S的幂集，则（S），）为代数系统。 例. 设、是真值集合0，1上的合取与析取运算，则（0，1，）是代数系统。,代数系统的例,例. 设Z为整数集，Z0为偶数集，N为自然数集，+、 是数的加法和乘法，则 （Z,+）、（Z,）、（Z,+,）、（Z0,+）、 （Z0, ）、（Z0, +,）、（N,+）、（N,）、（N,+,）都是代数系统。 例. 设 、 分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算，那么（Z,）、（Z0,）、（N,）都是代数系统。,代数系统的例,
