1、离散数学,余力 82500907 理工配楼303A ,2,第6章 几个典型的代数系统,6.1 半群与群 6.2 环与域 6.3 格与布尔代数,3,半群与独异点 半群定义与性质 交换半群与独异点 半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态 群 群的定义与性质 子群与群的直积 循环群 置换群,6.1 半群与群,4,半群的定义与实例,定义 设 V= 是代数系统，为二元运算，如果 运算是可结合的，则称 V 为半群. 实例 （1）,都是半群，+是普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，和都是半群，其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）为半群，其中为集合的对称差运算. （4）为半群，其中
2、 Zn=0,1, , n1，为模 n 加法. （5）为半群，其中 为函数的复合运算. （6）为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义 如下：x, yR*, x y =y,5,元素的幂运算性质,元素的幂运算定义 设V=为半群，对任意 xS，规定： x1 = x xn+1 = xn x,nZ+ 幂运算规则： xn xm = xn+m (xn)m= xnm m, nZ+ 证明方法：数学归纳法,6,特殊的半群,定义 设V = 是半群(1) 若 运算是可交换的，则称V 为交换半群 .(2) 若 eS 是关于 运算的单位元，则称 V 是含幺半群，也叫做 独异点. 独异点 V 记作 V = ,7,独异点的幂
3、,独异点的幂运算定义 x0 = e xn+1 = xn x,nN幂运算规则xn xm = xn+m (xn)m= xnm m, nN,8,交换半群和独异点的实例,例1 （1）,都是交换半群，也是独异点，+ 是普通加法. （2）设 n 是大于 1 的正整数，和都是独异点，其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）为交换半群和独异点，其中为集合的对称差运算. （4）为交换半群与独异点，其中 Zn = 0, 1, , n1， 为模 n 加法. （5）为独异点，不是交换半群，其中 为函数的复合运算.,9,半群与独异点的子代数,定义 半群的子代数称为子半群，独异
4、点的子代数称为子独异点 判断方法设 V=为半群，T 是 V 的子半群当且仅当 T 对 运算封闭. 设 V = 为独异点，T 是 V 的 子独异点当且仅当 T 对 运算封闭，且 eT 实例：, 是的子半群，是的子独异点， 不是的子独异点.,10,半群与独异点的积代数,定义 设 V1=，V2= 是半群 (或独异点)，令S = S1S2，定义 S 上的 运算如下： ,S， = 称 为 V1 和 V2 的 积半群（直积），记作 V1V2. 若 V1 = 和 V2 = 是独异点，则 V1V2 = 也是独异点, 称为独异点的 积独异点 (直积).,11,半群和独异点的同态,定义 (1) 设V1= ，V2=
5、 是半群，： S1S2. 若对任意的 x, yS1有 (xy) = (x) (y) 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态.(2) 设V1 = ，V2 = 是独异点， : S1S2. 若对任意的 x, yS1有 (xy) = (x) (y) 且 (e1) = e2, 则称 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态.,12,同态的实例,例2 设半群 V1 = ，独异点 V2= . 其中 为矩阵乘法，e 为 2 阶单位矩阵, 令 ：SS, , 是半群 V1 的自同态,不是独异点 V2 的自同态，因为它没有将 V2 的单位元映到 V2 的单位元.,13,群的定义与性质,群的定义
6、与实例 群中的术语 有限群、无限群与群的阶 Abel群 群中元素的幂 元素的阶 群的性质 幂运算规则、 群方程的解 消去律 群的运算表的排列,14,群的定义与实例,定义 设是代数系统，为二元运算. 如果 运算是可结合的，存在单位元 eG，并且对 G 中 的任何元素 x 都有 x1G，则称 G 为 群. 群的实例 (1) ,是群；,不是群. (2) 是群，而不是群. (3) 是群，为对称差运算. (4) ，是群. Zn= 0,1, , n1，为模 n 加.,15,Klein四元群,设G = e, a, b, c ，G上的运算由下表给出， 称为 Klein四元群,运算表特征：对称性-运算可交换主对
7、角线元素都是幺元-每个元素是自己的逆元a, b, c 中任两个元素运算 都等于第三个元素.,16,群中的术语,若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称为无限群. 群 G 的基数称为群G的 阶 有限群 G 的阶记作|G|. 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群 或 阿贝尔(Abel)群.,17,实例, 和 是无限群 是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群 G = e, a, b, c是 4 阶群 上述群都是交换群n 阶 (n2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.,18,群中的术语（续）,实例 在中有 23=(21)3=13=111=0 在 中有 (2)3=23=2
8、+2+2=6,定义 设G是群，xG，nZ，则 x 的 n 次幂 xn 定义为 ,19,设G是群，xG，使得等式 xk = e 成立的最小正 整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称 x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为 无限阶元.,群中的术语（续）,在中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在.,20,群的性质-幂运算规则,定理1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足： (1) xG，(x1)1 = x. (2) x, yG，(xy)1 = y1x1. (3)
9、 xG，xnxm = xn+m，n, mZ. (4) xG，(xn)m = xnm，n, mZ. 注意 (xy)n = (xy)(xy)(xy), 是 n 个xy 运算，G为交换群，才有 (xy)n = xnyn.,21,群的性质-群方程存在唯一解,定理2 G为群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且仅有惟一解. a1b 是 ax=b的解. ba1 是 ya = b 的唯一解.例 设 G=，其中为对称差. 群方程 a X = ， Y a,b = b 的解 X = a1 = a = a， Y = ba,b1 = ba,b = a,22,群的性质-消去律,定理3 G 为群，则G适合
10、消去律，即a,b,cG 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c.,23,群的性质-运算表排列规则,定理4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列 都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列） 的置换都不相同. 注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.,24,子群的定义,定义 设 G 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 关于 G 中的运算构成群，则称 H 是 G 的子群, 记作 HG. 若 H 是 G 的子群，且 HG，则称 H 是 G 的真子群，记作 HG.,实例 nZ（n是自然数）是整数加群 的子群. 当 n1 时, nZ
11、是 Z 的真子群. 对任何群 G 都存在子群. G 和 e 都是 G 的子群，称为 G 的平凡子群.,25,子群判定定理,设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群当且仅当 x, yH 有 xy1H. 证明 H 为 G 的子群的步骤：通过给出 H 中的元素说明 H 是 G 的非空子集任取 x, y属于 H，证明 xy-1属于H,26,生成子群,定义 设 G 为群，aG，令 H = ak | kZ ，则 H 是 G 的子群，称为由 a 生成的子群，记作.证 首先由 a 知道. 任取 am, al ，则 am (al)1 = am al = aml根据判定定理可知G.,27,实例,
12、整数加群，由 2 生成的子群是 = 2k | kZ = 2Z模 6 加群 中由 2 生成的子群 = 0, 2, 4 Klein四元群 G = e, a, b, c 的所有生成子群是：= e , = e, a , = e, b , = e, c .,28,设 G 为群, 令 C = a | aGxG(ax=xa)，则 C 是 G 的子群，称为 G 的中心. 证 eC. C是 G 的非空子集. 任取 a, bC，证明 ab1与 G 中所有的元素都可交换. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (x
13、a)b1 = x(ab1) 由判定定理可知 CG.,群的中心,29,循环群的定义,定义 设 G 是群，若存在 aG 使得 G = ak | kZ 则称 G 是循环群，记作 G=，称 a 为 G 的生成 元. 实例 整数加群 G = = = 模 6 加群 G = = = ,30,循环群的分类,设 循环群 G = ，根据生成元 a 的阶可以分 成两类： n 阶循环群和无限循环群. 设 G = 是循环群，若a 是 n 阶元，则 G = a0=e, a1, a2, , an1 那么 |G|= n，称 G 为 n 阶循环群. 若 a 是无限阶元，则 G = a0=e, a1, a2, 这时称 G 为无限
14、循环群.,31,循环群的生成元,定理 设 G = 是循环群. (1) 若G是无限循环群，则 G 只有 a 和 a1 两个生成元. (2) 若 G 是 n 阶循环群，则 ar 是 G 的生成元当且仅当 r 是小于等于 n 且与 n 互质的正整数.,32,(1) 设G=e, a, , a11是12阶循环群，则小于或等于12且与12互素的数是 1, 5, 7, 11, 由定理可知 a，a5，a7和 a11是 G 的生成元. (2) 设G=是模9的整数加群，则小于或等于 9且与 9 互素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理，G的生成元是 1, 2, 4, 5, 7 和 8. (3) 设
15、 G=3Z=3z | zZ, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3 和 3.,生成元的实例,33,循环群的子群,定理 设G=是循环群. (1) 设G=是循环群，则 G 的子群仍是循环群. (2) 若G=是无限循环群，则 G 的子群除e以外都是无限循环群. (3) 若G=是 n 阶循环群，则对 n 的每个正因子d，G 恰好含有一个d 阶子群.,34,(1) G=是1无限循环群，对于自然数mN，1 的 m 次幂是 m，m 生成的子群是 mZ，mN. 即 = 0 = 0Z = mz | zZ = mZ， m0 (2) G=Z12是12阶循环群. 12的正因子是1, 2, 3, 4, 6
16、和12，因此G 的子群是：1 阶子群 =0，2 阶子群 = 0,6 3 阶子群 =0,4,8，4 阶子群 = 0,3,6,96 阶子群=0,2,4,6,8,10，12 阶子群 = Z12,子群的实例,35,定义 设 S = 1, 2, , n , S上的双射函数 :SS 称为 S上的 n元置换. 一般将 n 元置换记为例如 S = 1, 2, 3, 4, 5 , 则 都是 5元置换.,n元置换的定义,36,n元置换的表示,置换符号表示 轮换表示 对换表示,37,k 阶轮换与对换,定义 设是 S = 1, 2, , n上的 n 元置换. 若 (i1)=i2 ,(i2)=i3, ,(ik1)=ik
17、,(ik)=i1 且保持 S 中的其他元素不变，则称为 S上的 k 次 轮换，记作 (i1i2ik). 若 k=2，称为S上的对换. 例如 5元置换 分别是 4 阶和 2 阶轮换=(1 2 3 4),=(1 3), 其中也叫做对换,38,n元置换分解为轮换,设 S=1,2,n，对于任何 S 上的 n 元置换，一 定存在着一个有限序列 i1, i2, , ik, k1,（可以取 i1=1）使得(i1)=i2,(i2)=i3, ,(ik1)=ik,(ik)=i1， 令1=(i1 i2 ik)，它是从中分解出来的第一个 轮换. 根据函数复合定义可将写作1，其中 作用于 Si1, i2, , ik上的
18、元素. 继续对进行类 似的分解. 由于S 中只有 n 个元素, 经过有限步以 后，必得到的轮换分解式 =1 2 t,39,分解实例,例 设 S = 1, 2, , 8 , 从中分解出来的第一个轮换式 (1 5 2 3 6)；第二 个轮换为(4)；第三个轮换为 (7 8). 的轮换表示式 =(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8) 用同样的方法可以得到的分解式 =(1 8 3 4 2) (5 6 7) 注意：在轮换分解式中，1 阶轮换可以省略. ,40,n元置换的乘法与求逆,两个 n 元置换的乘法就是函数的复合运算 n 元置换的求逆就是求反函数. 例 设使用
19、轮换表示是： = (1 5 4) (2 3) (1 4 2 3) = (1 5 2) = ( 1 4 2 3) (1 5 4) (2 3) = (3 5 4) -1= (1 5 4)-1 (2 3)-1 = (4 5 1) (2 3) = (1 4 5) (2 3),41,n元置换群及其实例,考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn Sn关于置换的乘法是封闭的. 置换的乘法满足结合律. 恒等置换(1)是 Sn 中的单位元. 对于任何 n元置换Sn，逆置换1是 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群. 例 设 S = 1, 2, 3，3元对称群 S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2),42,S3 的运算表,43,S3的子群,S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)， S3 有6个子群= (1)= (1), (1 2),= (1), (1 3),= (1), (2 3)= =(1), (1 2 3), (1 3 2),
