1、1,离 散 数 学(),吉林大学计算机科学与技术学院 智能信息处理教研室 卢欣华 ,2,古典代数与近世代数,古典代数的研究对象：方程以方程根的计算与分布为其研究中心。近世代数的研究对象：代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数。,3,古典代数的发展过程,一元一次方程 公元前1700年 一元二次方程 公元前几世纪 根式求解 古巴比伦、古印度 一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法唐朝数学家王孝通缉古算经西方：16世纪 意大利数学家卡丹公式,4,古典代数的发展过程,一元四次方程 Ferrari L(费尔拉里)化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程失败：欧
2、拉(1707 -1783) 、范德蒙德、鲁菲尼、高斯等。,5,拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在。 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的看法. 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式? 阿贝尔去世(1829年, 26岁)前一直在竭尽全力地研究这个问题.,6,在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认.,7,伽罗华18
3、11年10月降生于巴黎近郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年级. 15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通的师范学校. 就是在这所学校, 伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文, 显示了他的能力(17岁). 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝. 更遭的是, 两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了.,8,1829年7月, 他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败. 怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文, 这次是为竞争一项数学大奖. 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿 拿回家去审读, 不料在写出评审报告前
4、去世了, 此文再也没有找到.,9,三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两度失败, 伽罗华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分子, 被学校开除. 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在这一时期写出了最著名的论文“关于方程可根式求解的条件”, 并于1831年1月送交科学院. 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他写信给院长打听他的文章的下落, 结果又如石沉大海.,10,他放弃了一切希望, 参加了国民卫队. 在那里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫队即遭控告阴谋造反而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上, 伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯
5、, 这一手势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他就被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释.,11,7月4日, 他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运: 因“无法理解”而遭拒绝. 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson). 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁, 因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情. 这导致了他的早亡. 这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗.,12,1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier), 其中大致描述了他的数学理论, 从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受
6、何等损失的提要. 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击), 伽罗华的胃部中弹, 24小时后去世. 享年不足21岁. 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论以至近世代数的创始人.,13,Galois(18111832)-近世代数的创始人,Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), FranceDied: 31 May 1832 in Paris, France,14,近世代数的特点 - 抽象 代数系统： 群 环 域 格 布尔代数,离散数学II,15,第六章 群 与 环,16,6.1 代 数 系 统,代数运算的定义代数运算的
7、性质代数系统的定义,17,设S是一个非空集合，称SS到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a、b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f(a,b)=c，常记为a*b=c。 注： 代数运算是闭运算。 该运算具有很强的抽象性，不限于+，-， *，/，意义很广泛。 类似地，可定义S的n元代数运算： Sn到S的映射。,1. 代数运算的定义,18,例：,S=a,b，则SS=(a, a), (a, b), (b, a), (b,b)映射f为： (a, a)-a(a, b)-a(b, a)-b(b, b)-bf称为S的一个二元代数运算，有f(a,a)=af(a,b)=af(b,a)=b
8、f(b,b)=b也可表示为：a*a=a, a*b=a, b*a=b, b*b=b,19,加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算。 加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元代数运算；除法不是Z上的二元代数运算。 乘法、除法是非零实数集R*上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算。,例：,20,矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。 设S是一个非空集合，(S)是S的幂集，则、是(S)上的二元代数运算。 、 都是真值集合0, 1上的二元代数运算。,例：,例：S=a,b, (S)=a,b,a,b, ,21,设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于任
9、意a, bS ，a*b=b*a都成立，则称运算 * 满足交换律。例：设Q为有理数集合，对任意a,bQ, 定义Q上的运算如下 ：ab=a+b-ab，则是Q上的二元代数运算，且满足交换律：ab=a+b-ab=b+a-ba=ba,2. 代数运算的性质-交换律,22,设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a, b, cS, (a*b)*c=a*(b*c)都成立，则称运算 * 满足结合律。 例：设A是一个非空集合，对任意a,bA，定义A上的运算如下：ab=b，则是A上的二元代数运算，且满足结合律： (ab)c=bc=c a(bc)=ac=c,2. 代数运算的性质-结合律,23,设 * 是集合S上
10、的二元代数运算，a是S中的元素，如果a*a=a, 则称a是关于运算 * 的幂等元。如果S中每个元素都是关于 * 的幂等元，则称运算*满足等幂律。 结论：若a是关于运算 * 的幂等元，则对于任意正整数n，an=a。,2. 代数运算的性质-等幂律,24,设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a, b, cS, a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a)都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。注意：*未必满足交换律，所以一个等式成立，另一个未必成立。,2. 代数运算的性质-分配律,25,例：设A=, ，二元运算*, +定义如下：问分配律成立
11、否？, 运算+对运算*满足分配律。因为：x+(y*z)=(x+y)*(x+z); (y*z)+x=(y+x)*(z+x)证：当x=, x+(y*z)=; (x+y)*(x+z)=当x=, x+(y*z)=y*z; (x+y)*(x+z)=y*z, 运算*对运算+不可分配。 证：*(+)=*=(*)+(*)=+=,26,设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a, bS, a*(a+b)=a，a+(a*b)=a，都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。 例：定义自然数集合N上的运算 * 和 + 如下：对于任意a, bN, 有a*b=maxa, b, a+b=mina, b，则
12、 * 和 + 是N上的二元代数运算，且满足吸收律。a*(a+b)=maxa, mina, b=aa+(a*b)=mina, maxa, b=a,2. 代数运算的性质-吸收律,27,设 * 是集合S上的二元代数运算，如果S中存在元素，使得对于S中任意元素a，都有a*=，*a=，则称是S上关于运算 * 的零元。 设 * 是集合S上的二元代数运算，对于S中任意三个元素a, b, c，其中a不等于零元，如果有：(1) 若a*b=a*c，则b=c，(2) 若b*a=c*a，则b=c，就称 * 满足消去律。,2. 代数运算的性质-消去律,28,n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律。因为：但
13、,例：,29,整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；都不满足等幂律，也不满足吸收律。 n阶实矩阵集合上的加法满足结合律，也满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。,例：,(a-b)-ca-(b-c) 例：(5-2)-15-(2-1),(ab)+c(a+c)(b+c) 例：(34)+2(3+2)(4+2),30,设(S)是非空集合S的幂集，则(S) 上的交运算、并运算都满足结合律、交换律；对、对都满足分配律；它们都满足等幂律；也满足吸收律；但、不满足消去律。,例：,对任
14、意A,B,C (S)： 结合律： (AB)C=A(BC)， (AB)C=A(BC)。 交换律： AB=BA，AB=BA。,分配律：A(BC)=(AB)(AC)，(BC)A=(BA)(CA)； A(BC)=(AB)(AC)，(BC)A=(BA)(CA)。,等幂律：AA=A，AA=A。 吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A。,消去律： AB=AC，未必有B=C；AB=AC，未必有B=C。,31,设S是一个非空集合，f1, , fm是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1, , fm看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为(S, f1, , fm)。,3. 代数系统的定义,32,设S是一个非空集合，(S)是S的幂集，则(S), , )为代数系统。设、是真值集合0, 1上的合取与析取运算，则(0, 1, , )是代数系统。,例：,33,设Z为整数集，Z0为偶数集，N为自然数集，+、 是数的加法和乘法，则 (Z, +)、(Z, )、(Z, +, )、(Z0, +)、(Z0, )、(Z0, +, )、(N, +)、(N, )、(N, +, )都是代数系统。 设、分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算，那么(Z, , )、(Z0, , )、(N, , )都是代数系统。,例：,
