4.2-复变函数项级数

1、 项的和,称为级数的部分和.,部分和,8,收敛与发散,说明:,与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,9,10,2.复数项级数收敛的条件,证,因为,定理二,11,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,(定理二),12,解,所以原级数发散.,课堂练习,13,必要条件,重要结论:,14,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,15,3. 绝对收敛与条件收敛,注意,应用正项级数的审敛法则判定.,定理三,16,证,由于,而,根据实数项级数的比较准则, 知,17,由定理二可得,证毕,18,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,说明,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,定义,19,所以,综上:,20,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.,而,解,三、典型例题,例1,21,解,所以数列发散.,22,例2,解,级数满足必要条件,但,23,例3,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,24,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例4,解,25,四、小结与思考,通过本课的学习, 。

2、敛于a的充要条件是,证,小结论：,4,推论：若实数列an与bn中有一个发散，则复数列n一定发散。
,例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出其极限.,5,2 复数项级数 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列, 表达式,称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛,6,小结论：若复数项级数1+ 2+n+收敛，则其通项n极限为零。
例2. 当|1,判断级数1+ 2+n+是否收敛？,7,定理二 级数 收敛级数 和 都收敛. 证 sn=a1+a2+.+an =(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn) =sn+itn 由定理一, sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在, 即级数 和 都收敛.,8,定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数收敛问题.,9,10,定理三,证,定理四,证,11,例 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,解 1。

3、条件是,一、复数序列,2. 复数序列极限存在的充要条件,定理,设,证明,充分性 “ ”,若,解,由 或 发散，,即得 也发散。
,故序列 收敛。
,根据复数模的三角不等式有,解,即序列 收敛。
,二、复数项级数,1. 基本概念,(1) 称 为复数项级数，,(2) 称 为级数的部分和；,并且极限值 s 称为级数的和；,(3) 如果序列 收敛，即,则称级数收敛，,(4) 如果序列 不收敛，则称级数发散。
,简记为,二、复数项级数,2. 复数项级数收敛的充要条件,级数 和 都收敛。
,则级数 的部分和,即得级数 收敛的充要条件是 和 都收敛。
,由于序列 收敛的充要条件是 和 都收敛，,二、复数项级数,3. 复数项级数收敛的必要条件,等价于,因此 收敛的必要条件是,而实数项级数 和 收敛的必要条件是：,但级数 发散，,因此级数 。

4、3) 如果存在区域 D G ， 有,此时，称,为和函数，D 为收敛域。
,二、幂级数,1. 幂级数的概念,其中， 为复常数。
,( I ),特别地，当 时有,(),二、幂级数,2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理,(1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,(2) 如果级数在 点发散，则它在 上发散。
,则存在 M，使对所有的 n 有,即得 收敛。
,当 时，,对于幂级数 ，有,二、幂级数,2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理,(1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,定理,(2) 如果级数在 点发散，则它在 上发散。
,证明,(2) 反证法：,与已知条件矛盾。
,已知级数在 点发散，,级数在 点收敛，,二、幂级数,3. 收敛圆与收敛半径,分析,二、幂级数,3. 收敛圆与收敛半径,(1) 称圆域,为收敛圆。
,(2) 称 R 为收敛半径。
,各点的收敛情况是不一定的。
,表示级数在整个复平面上 收敛。
,收敛半径为,(必要条。

5、 为级数 的部分和。
,则称级数 在区域 D 内收敛。
,(3) 如果存在区域 D G ， 有,此时，称,为和函数，D 为收敛域。
,二、幂级数,1. 幂级数的概念,其中， 为复常数。
,( I ),特别地，当 时有,(),二、幂级数,2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理,(1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,(2) 如果级数在 点发散，则它在 上发散。
,则存在 M，使对所有的 n 有,即得 收敛。
,当 时，,对于幂级数 ，有,二、幂级数,2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理,(1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,定理,(2) 如果级数在 点发散，则它在 。