1、1,第四章 级数,1 复数项级数与幂级数,2,1. 复数列的收敛与发散 设an(n=1,2,.)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数列an当n时的极限, 记作,此时也称复数列an收敛于a.,3,定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是,证,小结论：,4,推论：若实数列an与bn中有一个发散，则复数列n一定发散。,例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出其极限.,5,2 复数项级数 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列, 表达式,称为无穷级数,
2、 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛,6,小结论：若复数项级数1+ 2+n+收敛，则其通项n极限为零。例2. 当|1,判断级数1+ 2+n+是否收敛？,7,定理二 级数 收敛级数 和 都收敛. 证 sn=a1+a2+.+an =(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn) =sn+itn 由定理一, sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在, 即级数 和 都收敛.,8,定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数收敛问题.,9,10,定理三,证,定理四,证,11,例 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,解 1),12,
3、2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时, an. 所以an发散.,例3 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?,解 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散.,13,2) 因 , 由正项级数的比值收敛法知 收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛.,3) 因 收敛; 也收敛, 故原级数收敛. 但因 为条件收敛, 所以原级数不是绝对收敛.,14,三、 幂级数 设fn(z)(n=1,2,.)为区域D上的(复变)函数序列,表达式,称为(复变)函数项级数. 最前面n项的和Sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z) 称为这级数的部分和.,15,存在, 则称复变函数项级数(4.1
4、.2)在z0收敛, 而f(z0)称为它的和. 如果函数项级数(4.1.2)在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数f(z):f(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.,如果对于D内的某一点z0, 极限,称为级数 的和函数.,16,这种级数称为幂级数. 如果令z-a=z , 则(4.1.3)成为 , 这是 (4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论,当fn(z)=cn(z-a)n时,17,定理五(阿贝尔Abel定理),18,证,19,20,21,幂级数的收敛性只有三种情况： (1) 当0R内发散；但在|z|=R上，幂级数可能收敛也可能发散。 (2) 当R=+时，幂级数在复平面上每一点绝对收敛。 (3) 当R=0时，幂级数在复平面上出去原点外处处发散。,22,例2 求下列幂级数的收敛半径,23,24,25,26,四. 幂级数的性质,在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以像多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.,27,28,29,3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即,
