1、4.2 复变函数项级数,一、基本概念,1. 复变函数项级数,(2) 称 为区域 G 内,(1) 称 为区域 G 内的复变函数序列。,一、基本概念,2. 复变函数项级数收敛的定义,(1) 称 为级数 的部分和。,则称级数 在区域 D 内收敛。,(3) 如果存在区域 D G ， 有,此时，称,为和函数，D 为收敛域。,二、幂级数,1. 幂级数的概念,其中， 为复常数。,( I ),特别地，当 时有,(),二、幂级数,2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理,(1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,(2) 如果级数在 点发散，则它在 上发散。,则存在 M，使对所有的 n 有,即得 收敛。,当
2、时，,对于幂级数 ，有,二、幂级数,2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理,(1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,定理,(2) 如果级数在 点发散，则它在 上发散。,证明,(2) 反证法：,与已知条件矛盾。,已知级数在 点发散，,级数在 点收敛，,二、幂级数,3. 收敛圆与收敛半径,分析,二、幂级数,3. 收敛圆与收敛半径,(1) 称圆域,为收敛圆。,(2) 称 R 为收敛半径。,各点的收敛情况是不一定的。,表示级数在整个复平面上 收敛。,收敛半径为,(必要条件?),由 收敛，,因此级数 在全平面上收敛，,收敛，,故级数 仅在 点收敛，,收敛半径为,级数发散。,级数收敛；,(1) 当
3、 时，,和函数为,(2) 当 时，,故级数收敛半径为,二、幂级数,4. 求收敛半径的方法,(1) 比值法,对于幂级数 ，有,推导,考虑正项级数,利用达朗贝尔判别法：,当 即 时，级数收敛；,当 即 时，级数发散。,(2) 根值法,二、幂级数,4. 求收敛半径的方法,(1) 比值法,如果,则收敛半径为,对于幂级数 ，有,(利用正项级数的柯西判别法即可得到),得,得,收敛圆为,故级数的收敛半径为,令,则在 内有,三、幂级数的性质,1. 幂级数的运算性质,2. 幂级数的分析性质,即,(3) 在收敛圆内可以逐项积分，,即,(2) 函数 的导数可由其幂函数逐项求导得到，,三、幂级数的性质,3. 幂级数的
4、代换(复合)性质,在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。,又设函数 在 内解析，且满足,当 时，有,则,三、幂级数的性质,方法二 利用逐项求导性质,解,附：,人物介绍 阿贝尔,附：,人物介绍 阿贝尔,阿贝尔只活了短短的 27 年，一生中命途坎坷。,他的才能和成果在生前没有被公正的承认。,伽罗华只活了短短的 21 年。,他的成果在生前没有人能够理解。,伽罗华只活了短短的 21 年。,他的成果在生前没有人能够理解。,伽罗华只活了短短的 21 年。,他的成果在生前没有人能够理解。,伽罗华只活了短短的 21 年。,他的成果在生前没有人能够理解。,伽罗华只活了短短的 21 年。,他的成果在生前没有人能够理解。,伽罗华只活了短短的 21 年。,他的成果在生前没有人能够理解。,
