10.Green公式1

1、 口答）,1011,a10,x10,x 9,（3） a7 a3,（5） x5 x5,（7） x5 x x3,（1） 105106,（2） (105)6,（4） (a7)3,（6） (x5)5,（8）(y3)2 (y2)3,1030,a21,x25,y 12,= y 6 y 6 =,13.1幂的运算,、积的乘方,（1）(ab)2 = (ab) (ab) = (aa) (bb) = a ( )b( ) （2）（ab）3_ a ( )b( ) （3）（ab）4_ a ( )b( ),(ab) (ab) (ab),(aaa) (bbb),2,2,(ab) (ab) (ab) (ab),(aaaa) (bbbb),3,3,4,4,根据乘方的意义计算。

2、b)2=a2- 2ab+b2,a2,ab,ab,b2,b,a,a,b,(a+b)2,=a2+2ab+b2,a,b,a,b,(a-b)2,(a-b)2,=a2-2ab+b2,完全平方公式,（a+b)2=a2+2ab+b2,（a- b)2=a2- 2ab+b2,口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
加减看前方，同加异减。
,（x+2y)2 =,+2 x 2y,(a+b)2 = a2 +2 a b + b2,= x2+4xy+4y2,x2,+(2y)2,计算:,（2x-3y)2 =,(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2,(2x)2,-2 2x 3y,+(3y)2,=4x2-12xy+9y2,例1 运用完全平方公式计算：,（1） （4a-b)2,解:（4a-b)2=,=16a2,（2）,解:,(4a)2,-24ab,+b2,-8ab,+b2,+y,= y2,+,例2 运用完全平方公式计算：,（1） 1022。

3、d p q,Find the friends.,D P Q R B b r d p q,Find the friends.,k, W, l, m,Circle the different letters.,O, p, C, V,r, S, x, z,k, W, l, m,Circle the different letter：,O, p, C, V,r, S, x, z,Find the letters and write them on your paper.,O,What colour is it?,It is red.,OIt is a red .,Can you read it?,What colour is it?,It is yellow.,Can you read it?,It is a yellow,black（黑）and blueblue-eyed boysblue-pencil,Do you know it?,black and blue 遍体鳞伤b。

4、 一 区域连通性的分类 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域 单连通区域 设空间区域G 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G 则称G是空间二维单连通域 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面 则称G为空间一维单连通区域 一维单连通二维单连通 一维单连通二维不连通 一维不连通二维单连通 二 格林公式 定理1 边界曲线。

5、上的,它有明确的物理背景,三重积分的关系.,所围区域的二重积分联系起来.,通量与散度.,3,分量在及上具有,则有高斯公式,一阶连续偏导数,或写成,一、高斯公式,定理10.9,设为空间有界闭区域,其边界面,是分片光滑曲面,曲面的正侧记作+,向量函数,的各,4,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明.,只证其中第三式,其他两式可完全类似地证明.,5,证,设空间区域,母线平行于z轴的柱面.,即边界面由1 , 2 , 3,三部分组成:,(取下侧),(取上侧),(取外侧),在xOy面上的投影域为Dxy,6,由三重积分的计算法,投影法(先一后二法),7,由曲面积分的计算法,取下侧,取上侧,取外侧,一投, 二代, 三定号,8,于是,所以,9,同理,合并以上三式, 得,高斯公式,10,若区域的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好。

6、 一 区域连通性的分类 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域 有洞区域 单连通区域 无洞区域 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D总在他的左边 二 格林公式 定理1 证明 1 同理可证 证明 2 两式相加得 G F 证明 3 由 2 知 3 格林公式的应用举例 1 简化曲线积分 2 简化二重积分 解 注意格林公式的。

7、2区域D的边界曲线C的正向,3定理3.1（格林定理）,2.给出了计算二重积分的新方法.,3.给出了计算第二型曲线积分的新方法.,格林公式便于记忆的形式:,应用格林公式必须注意：,4.用格林公式求平面图形的面积,例4.,解：,二、 平面上曲线积分与路径无关的条件,求原函数的方法,三、 全微分方程,解法2（偏积分法）,解法3（凑微分法）,。

8、不连通 二维单连通,二、Green 公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,两式相加得,证明(2),证明(3),由(2)知,三、简单应用,1. 简化曲线积分,L,2. 简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3. 计算平面面积,解,例5,解一,用定积分,如图所示,由对称性，只需计算第一象限 部分的面积,解二,用曲线积分,四、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,Green公式;,3. 格林公式的应用.,思考题,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。
,思考题解答,外边界：,内边界：,。